Ответьте пожалуйста. Один из углов ромба равен 60 градусов, а большая диагональ равна 24 см. найдите радиус окружности ,вписанный в данный ромб (8 класс)

Поскольку ромб является параллелограммом, то сумма двух его соседних сторон равна 180°. 


Если острый угол ромба равен 60°, то тупой угол равен 180° - 60° = 120°. 


Для треугольника, образованного двумя сторонами ромба и большей диагональю, по теореме косинусов: 


d2

 = a2

 + a2

 - 2 * a * a * cos 120° = a2

 + a2

 - 2 * a * a * (-0,5) = 3 * a2

.


Отсюда, 


a = d / √3 = 24 / √3 = 8√3 см - сторона ромба.


Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла между ними: 


S = a2

 * sin 60° = = (8√3)2

 * √3 / 2 = 96√3 см2

. 


С другой стороны, площадь ромба равна произведению стороны на высоту: 


S = a * h; 


h = S / a = 96√3 / 8√3 = 12 см - высота ромба.


Диаметр вписанной в ромб окружности равен высоте ромба, значит радиус вписанной окружности равен половине высоты:


r = h / 2 = 12 / 2 = 6 см. 


 


 


-------
Центр окруж. лежит на пересечении диагоналей(легко самому доказать поэтому лень писать). Проведите перпендикуляр из точки касания одной из сторон ромба перпендикуляр. По построению отрезок от точки касания до центра - радиус. Получится прямоугольный треугольник(гипотенуза - половина большей диагонали, меньший катет - радиус, больший - отрезок от точки у которой угол 60 до точки касания от которой проводили перпендикуляр). угол между большим катетом и диагональю равен 60/2=30 т. к. в ромбе диагонали являются биссектрисами, значит меньший катет(радиус) = гипотенуза/2 т к лежит напротив угла 30. Гипотенуза =24см/2=12 см. Радиус = 12см/2=6см.
  (Попробуйте сначала нарисовать там сразу увидите).