Психологами был создан тест, пройдя который можно получить показатель умственных способностей человека IQ. Рейтингом группы людей является среднее арифметическое значений IQ всех участников, которые входят в данную группу.
а) Из группы А в группу Б перешли несколько человек. Если в обеих группах изначально было по 3 человека, то мог ли повыситься рейтинг у обеих групп после перехода участников?
б) Из группы А в группу Б перешли несколько человек. Затем из группы Б несколько участников перешли в группу А (в числе которых могли быть и бывшие люди из группы А). Может ли быть так, что рейтинги двух групп выросли и в первый, и во второй раз, если первоначально в каждой группе было по 10 человек.
в) Из группы А в группу Б перешли несколько человек. На какую наибольшую величину мог повыситься рейтинг группы А, если также и у группы Б повысился рейтинг при условии, что изначально в обеих группах было по 10 человек.
Самое главное - объясните мне, как при переходе нескольких человек могут увеличиться рейтинги в обоих группах?
Ведь, если переходят умные, то в 1 группе рейтинг упадет, а во 2 вырастет.
Если переходят дураки, то наоборот, в 1 группе вырастет, а во 2 упадет.
А если пополам, и умных и глупых, то в целом рейтинг не поменяется.
Я этого не понимаю.

Среднее арифметическое (а это и есть рейтинг) нескольких чисел зависит не только от значений чисел, но и их количества.
Поэтому можно объяснить такой парадокс, когда "умные" уходят, а рейтинг группы повышается.
Рассмотрим по порядку каждый случай.
а) Если рейтинг группы А был выше, чем у группы Б, то ответ да, при переходе из А в Б рейтинг обеих групп мог повыситься. Группы А за счет того, что количество участников уменьшается, а уходит "слабейший", а у группы Б за счет того, что приходит человек у которого личный рейтинг выше, чем у любого из этой группы. Такое возможно и при переходе 1 или 2 человек из 3-х.
б) Такое возможно и при любом количестве участников, поэтому и в этом случае при переходе из А в Б рейтинги обеих групп могут повыситься при выполнении тех же условий. А вот при обратном переходе рейтинг группы А понизиться (может до первоначального), а у группы Б может повыситься (и выше первоначального). Это и понятно, в группу А может вернуться только человек с рейтингом равным наименьшему рейтингу или ниже.
в) Наибольший рейтинг группы А будет в том случае, когда в нем останется лишь один человек с наивысшим рейтингом (лидер группы), его рейтинг и будет наибольшим рейтингом группы А после ухода из него 9 человек с более низкими рейтингами (или когда остаются те у кого рейтинги равны и наивысшие, а у кого рейтинг ниже уходят в группу Б) при условии, когда рейтинг группы Б первоначально был ниже рейтинга группы А.
                                                                              

а) В группах по 3 человека. Переходят не один и не все, а несколько, значит 2.
При переходе рейтинг группы А повысится если в группе останется тот, у кого рейтинг выше среднего в группе.
В группе Б рейтинг повысится если средний рейтинг пришедших выше среднего в группе Б.
Такое возможно только если в изначально в группе А средний рейтинг выше среднего в Б.
Пример: Было  А:(120+110+100)/3=11�0  и  Б:(90+90+90)/3=90
Стало А:120 и Б:(110+100+90+90+90)�/5=96
б) Невозможно чтобы рейтинги выросли при двух переходах.
При первом переходе рейтинги обоих групп могут вырасти, см. пример а).
При втором переходе, если в А вернутся те же что ушли, то средний рейтинг упадет. То есть вернуться должны более сильные, чем ушли.
Для группы Б, если уходят те же, что пришли, то средний рейтинг падает. А если уйду более сильные, чем пришли (это нужно для усиления А), то средний рейтинг Б упадет еще сильнее.
в) Количество участников в задаче не имеет значения. Максимальный рейтинг будет, если в группе останется один человек с максимальным рейтингом. Максимальное увеличение при уходе нескольких человек будет равно рейтингу максимального члена группы минус средний рейтинг группы до ухода.

Формулировка вопроса очень длинная... Отвечу вот на это: "Самое главное - объясните мне, как при переходе нескольких человек могут увеличиться рейтинги в обоих группах?" Покажу такую возможность на простом примере.
Например в группах по пять человек. В первой группе  IQ такие: 120 - 120 - 120 - 100 - 100(рейтинг 112). Во второй группе: 90 -90 - 90 - 80 - 80(рейтинг  86). Из первой группы во вторую перешли два участника с IQ 100 и 100. Получится первая группа 120 - 120 - 120(рейтинг120). Вторая группа 90 - 90 - 90 - 80 - 80 - 100 - 100(рейтинг 90). После перехода рейтинг обоих групп увеличился.

Все ответили правильно на пункты а) и б). На пункт в) требуется конкретное число, которое можно вписать в бланк на ЕГЭ.
Я нашел решение. Смотрите и учитесь:
Расположим по невозрастанию показатели людей в группе А:
a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ a10
Тогда рейтинг группы А до перехода равен (a1+a2+...+a10)/10, а после перехода он не превосходит a1
(так как средний рейтинг группы не может превосходить наибольший показатель ее участников).
Следовательно, после перехода рейтинг группы А увеличился не более чем на
a1−(a1+a2+...+a10)/1�0 = a�1��−�(�a�1��+a�2���+...+a�10)/10 ����= 0,9a1−(a2+a3+...+a10�)/10
Заметим, что сразу все перешедшие не могут иметь показатель умственных способностей 1 (минимальный), так как в этом случае не произойдет рост рейтинга группы Б. Поэтому a2 ≥ 2 и a2+a3+...+a10 ≥ 10
Поэтому при рассматриваемом переходе людей рейтинг группы А растет не более чем на
0,9a1 − (a2+a3+...+a10)/10 ≤ 0,9*9 − 1 = 7,1
Значение 7,1 достигается в примере, когда в группе А находятся люди с показателями 9, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, а в группе Б все имеют показатель, равный 1.
В группу Б переходят все из группы А, кроме человека с показателем 9. Рост рейтинга группы А составляет 91 − 19/10 = 7,1.