По кольцевой дороге в обоих направлениях движутся поезда. Каждый поезд проходит кольцо за 2 ч. В одном направлении поезда идут с интервалом 10 мин., в другом - 15 мин. Сколько встречных поездов встретит поезд, следующий в одном, и сколько - в другом направлении за один круг?

Для определённости положим что идущие с интервалом 10 минут поезда идут по часовой стрелке, а с интервалом 15 минут против часовой. Допустим у нас пока 2 поезда и они встретились в 12.00 около депо.А все остальные поезда пока в этом депо и их будут выпускать через каждые 10 и 15 минут.
Время запуска поездов по часовой стрелке: 12.10 ;12.20 ;12.30 ;12.40 ;12.50 ;13.00 ;
13.10 ;13.20 ; 13.30 ;13.40 ;13.50.
Время запуска поездов против часовой стрелки: 12.15 ;12.30 ;12.45 ;13.00 ;13.15 ;
13.30 ;13.45
Рассмотрим поезд вышедший  в 12.00 против часовой стрелки.
Первый поезд он встретит в 13.00.Затем будет встречать следующие  поезда в 13.05 ,13.10 ; 13.15 ;13.20 ;13.25 ;13.30 ;13.35 ;13.40 ;13.45 ;13.50 ;13.55...- итого 24 поезда за 2 часа
Рассмотрим поезд вышедший в 12.00 по часовой стрелке
Тогда он будет встречать поезда: 13.00 ;13 часов 7,5 минут ;13.15 ;13 часов 22,5 минуты ; 13.30...- итого 16 поездов за 2 часа.
                                                                              

Решение задачи весьма простое.
Предварительно выясняем сколько поездов на линии. 120 минут делим на интервалы и получаем 8 и 12 поездов.
Предположим, что зеленые паровозики стоят на месте, а фиолетовые совершают один круг. Значит возле зеленого маркерного поезда проедет восемь фиолетовых. А теперь если фиолетовые стоят, то за один круг зеленый локомотив проедет рядом с восемью фиолетовыми. Но поскольку они все двигаются, значит зеленый, за один оборот встретит два раза по восемь фиолетовых поездов. Аналогичные рассуждения будут относительно поездов другого цвета.
Ответ.
Зеленый состав встретит 16 фиолетовых.
Фиолетовый состав встретит 24 зеленых.
Ну хорошо, все мы молодцы решать детские задачки. А вот если увеличить или уменьшить скорость зеленого паровоза относительно фиолетового хотя бы в два раза? Что подсказывает вам ваша интуиция? Что то там умножать или делить на два? В таком случае она вам нагло врет.
Предлагаю вам для досуга графический МАКЕТ.
Где можно выставить: Время в пути и количество поездов.
Перемещая бегунок "S", мы произведем один оборот фиолетовых поездов, а зеленых уж как получится. Можно нажать на треугольник левее "S" для автоматической работы железной дороги.
Бегунок "V" изменит скорость зеленого состава относительно фиолетового в заданное число раз.
Проверьте свою интуицию. Это лучше делать с меньшим числом поездов.

То  есть  в  одном  направлении  по  кольцу  движется  12  поездов  (120 мин. / 10 мин.),  а  в  другом  только  8 (120 мин. / 15 мин.)  Поскольку  за  2  часа  проходят  кольцо  полностью  и  четко  1  раз,  значит  поезда,  идущие  в  одном  направлении  (это которых  12),  встретят  8  встречных  (идущих  в  другом).  А  поезда,  идущие  в  другом  направлении  (их  только  ,  встретят,  соответственно,  12  встречных.

2 часа = 120 минут
1) 120 : 15 = 8 поездов следует по кольцу в одном направлении
2) 120 : 10 = 12 поездов следует по кольцу в другом направлении
Заметим, что, совершая один оборот, поезд проходит всю дистанцию. Таким образом, он встретит всех тех, кто идет ему навстречу, при этом даже ровно два раза, так как скорости всех поездов одинаковы. И получается, что каждая пара поездов, следующих в противоположные направления, будет каждые пол круга.
Таким образом, каждый поезд из одной группы встретит 16 себе подобных 16 раз, а из другой группы - 24 раза.

Выскажусь по поводу условий задачи Если посчитать сколько встречных поездов встретят первые поезда,то будет,согласно интервала движения 10мин.и 15мин по 8 и 12встреч.Но если поезда едут кругами то тогда последние поезда(за два часа круга),то есть восьмой и двенадцатый встретят уже едущих по первому кругу а так же по второму.То есть встретят насвоем первом круге уже по 16 и 24 встречи.
Ответ:первые встретят по 8 и 12
Последние:по 16 и 24.