Рысак и кляча движутся от Чанъаня к княжеству Ци, которое удалено от Чанъаня на 3000 ли. В первый день рысак пробегает 193 ли, каждый следующий день пробегает на 13 ли больше. Кляча в первый день пробегает 97 ли, каждый последующий день пробегает на половину ли меньше. Рысак первым достиг княжества Ци, повернул обратно и в некотором месте встретил клячу. Спрашивается, через сколько дней они встретились и сколько ли пробежала каждая лошадь.
ссылка (задачник Чистякова, задача № 69)
С быками Ньютона я смог разобраться! Да, это правда. Прояснилось у меня в голове после ответов уважаемых авторов БВ, и я эту задачу про быков понял!
А тут задача на движение. Недолюбливаю их... Конечно, пытался решать. Вроде как (ключевое слово "вроде") у меня получилось, что рысак добежал до Ци на тринадцатый день. А дальше что-то сложно.
Есть ли в данном случае смысл применять формулу для арифметической прогрессии? Или, может быть, лучше считать всё напрямую? Я понятия не имею, для какого класса школы может предназначаться эта задача. Кто их знает, этих китайцев?!
Я даже пытался применить формулы кинематики типа x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2. Вот интересно: они в данной задаче могут помочь?

               Конечно помогут формулы арифметической прогрессии, так как каждая лошадь бежит своей прогрессией.
У рысака прогрессия: первый член a1 = 193, разность прогрессии d = 13 и так он будет бежать n дней до встречи. Нас не интересует княжество Ци. Нас интересует встреча.
S(рыс) = (2a1 + (n-1)d)•n/2
S(рыс) = (386 + 13•(n-1))•n/2 = (13n² + 373n)/2
У клячи геометрическая прогрессия: b1 = 97, знаменатель прогрессии q = 1/2 и она будет бежать так же n дней до встречи.
S( кл) = b1(1-qⁿ) / (1-q)
S( кл) = 97( 1 - (1/2)ⁿ) / (1/2) = 194 - 194 / 2ⁿ
А вместе они до встречи пробегут 2•3000 = 6000
Получаем S(рыс) + S(кл) = 6000
(13n² + 373n)/2 + 194 - 194 / 2ⁿ = 6000
13n² + 373n + 388 - 12000 = 388/2ⁿ
13n² + 373n - 11612 = 388/2ⁿ
А вот теперь по рассуждаем.
1) В идеале нам надо искать неравенство, так как они встретится могут в середине какого то дня. То есть надо найти такое n суммы превысят 6000
2) Кляча бежит бесконечно убывающей геометрической прогрессией. и её сумма не превысит
S = b1 / (1-q) = 97/(1/2) = 194
Тогда рысак пробежит до встречи более 6000-194 = 5806
Сколько дней надо для преодоления этого расстояния
(13n² + 373n)/2 > 5806
13n² + 373n - 11612 > 0
D = 742953
n1 ≈ (-373 + 862)/26 ≈ 18,8
n2 ≈ -47,5
То есть n > 18,8 больше 18 дней
Остается проверить 18-й и 19-й день
рысак пробежит
(13•18² + 373•18)/2 = 5463
(13•19² + 373•19)/2 = 5890
кляча пробежит
194 - 194 / 2¹₉ ≈ 194 - 0,0004 ≈ 193,9996
Встретятся они на 19 день
Кляча пробежит почти 194 ли (без десятитысячных долей)
А Рысак соответсвенно чуть более 5806 ли
UPD.
Тут возникла интерпретация, что кляча бежала каждый день убавляя 1/2 ли. Вполне возможно и так трактовать. Тогда задача упрощается и просто сводится к квадратному уравнению без рассуждений. Конечно громоздкому.
Кляча тоже бежала арифметическую прогрессию. a1 = 97; d = -0,5
S(кл) = (194 - (n-1)•0.5)•n / 2 =  (-0,5n² + 194,5n + 0,5)/2
6000 ≤ (13n² + 373n)/2 + (-0,5n² + 194,5n + 0,5)/2
12000 ≤ 12,5n² + 567,5n + 0,5
25n² + 1135n - 23999 ≥ 0
D = 3 688 125
n1 = (-1135 + 1920,45)/50 ≈ 15,71
Второй корень отрицательный и нас не интересует.
То есть встреча произойдет после 15 дня на 16-й
Пройденное расстояние так же будет приблизительным
За 15 дней
S(рыс) = (13•15² + 373•15)/2 = 4260 ли
S(кл) = (194 - 7)•15/2 = 1402,5 ли
Вместе 5662,5 ли
За 15 и часть 16 дня, а именно за ≈15,71
Рысак пройдет (13•15,71² + 373•15,71) / 2 ≈ 4 534,14165 ≈ 4534 ли
Кляча пройдет (194 - 7,355)•15,71/2 ≈ 1 466,096475 ≈ 1466 ли
Вместе 6 000   
                                                                              

               Рассчитываем бег рысака (день = пробег):
1 = 193, 2 = 206, 3 = 219, 4 = 232, 5 = 245,
6 = 258, 7 = 271, 8 = 284, 9 = 297, 10 = 310, 11 = 323, 12 = 336, 13 = 349, 14 = 362, 15 = 375,
16 = 388, 17 = 401, 18 = 414, 19 = 427, 20 = 440,
21 = 453, 22 = 466, 23 = 479, 24 = 492, 25 = 505,
26 = 518, 27 = 531, 28 = 544, 29 = 557, 30 = 570,
31 = 583, 32 = 596, 33 = 609, 34 = 622, 35 = 635,
36 = 648, 37 = 661, 38 = 674, 39 = 687, 40 = 700,
41 = 713, 42 = 726, 43 = 739, 44 = 752, 45 = 765,
46 = 778, 47 = 791, 48 = 804, 49 = 817, 50 = 830,
51 = 843, 52 = 856, 53 = 869, 54 = 882, 55 = 895, 56 = 080.
Всего 30000ли, но на 56-й день вместо 908ли рысаку достаточно было проскакать 80ли и он достигнет цели.
Если полагать, что рысак в сутки скакал, пусть 12 часов, остальное время отдыхал, то за 56-е сутки рысак скакал чуть более часу, когда достиг цели. Давайте для простоты отбросим этот час. Пусть будет ровно 55 дней.
Что же кляча успела за эти 55 дней(день = пробег):
1 = 97, 2 = 96.5, 3 = 96, 4 = 95.5, 5 = 5,
6 = 94.5, 7 = 94, 8 = 93.5, 9 = 93, 10 =92.5,
11 = 92, 12 = 91.5, 13 = 91, 14 = 90.5, 15 = 90,
16 = 89.5, 17 = 89, 18 = 88.5, 19= 88, 20 = 87.5,
21 = 87, 22 = 86.5, 23 = 86, 24 = 85.5, 25 = 85,
26 = 84.5, 27 = 84, 28 = 83.5, 29 = 83, 30 = 82.5,
31 = 82, 32 = 81.5, 33 = 81, 34 = 80.5, 35 = 80,
36 = 79.5, 37 = 79, 38 = 78.5, 39 = 78, 40 = 77.5,
41 = 77, 42 = 76.5, 43 = 76, 44 = 75.5, 45 = 75,
46 = 74.5, 47 = 74, 48 = 73.5, 49 = 73, 50 = 72.5,
51 = 72, 52 = 71.5, 53 = 71, 54 = 70.5, 55 = 70.
Итого 4592.5ли, пусть, для простоты 4593ли. Тогда их разделяют 25407ли, когда они начали сближаться. Давайте посмотрим, как это будет (день = пробег клячи = пробег рысака = сумма пробега):
1 = 65.5 = 908 = 973.5, 2 = 65 = 921 = 986,
3 = 64.5 = 934 = 998.5, 4 = 64 = 947 = 1011,
5 = 63.5 = 960 = 1023.5, 6 = 63 = 973 = 1036,
7 = 62.5 = 986 = 1048.5, 8 = 62 = 999 = 1061,
9 = 61.5 = 1012 = 1073.5, 10 = 61 = 1025 = 1086,
11 = 60.5 = 1038 = 1098.5, 12 = 60 = 1051 = 1111,
13 = 59.5 = 1064 = 1123.5, 14 = 59 = 1077 = 1136,
15 = 58.5 = 1090 = 1148.5, 16 = 58 = 1103 = 1161,
17 = 57.5 = 1116 = 1173.5, 18 = 57 = 1129 = 1186,
19 = 56.5 = 1142 = 1198.5, 20 = 56 = 1155 = 1211,
21 = 55.5 = 1168 = 1223.5, 22 = 55 = 1181 = 1236.
Итого, после 22-х дней сближения (а всего 77 дней) они преодолели расстояние в 24305ли, при этом кляча проскакала 1325.5ли, рысак 2279ли.
Оставшееся между ними расстояние 1102ли они преодолели менее, чем за день, где-то часов за шесть, кляче отведём 54ли, рысаку оставшиеся 1048ли.
Итого, искомое время приблизительно составило 77.25 суток.
Кляча поскакала:
4593ли + 1325.5ли + 54ли ≈ 5873ли,
рысак проскакал:
30000ли + 2279ли + 1048ли ≈ 33327ли.

               А1=193
Ап=193+13(п-1)=180+13п
Пусть 3000=(193+180+13п)п/2
13п^2+373п-6000=0
Д=373*373+4*13*6000
Д=451129-(корень не берется)
671^2=450241
п~~(-373+671)/2*13~~11
(это с недостатком)
Путь=(193+180+13*11)*11/2
=2838
А12=193+13*12=349
То есть за 11 дней рысак пробежал 2838 ли.
Ему осталось :
3000-2838=162ли до княжества
В 12-тый день рысак достигает княжества и тут же возвращается и отбегает от княжества на:
349-162=187 ли
Кляча за 12 дней проползает:
В12=97-0,5*11=91,5
Путь =(97+91,5)*12/2
После конца 12-того дня между ними расстояние :
3000-1131-187=1682 ли.
Далее арифметика
лень формулы писать
91+362+90,5+375+90+388=
=1396,5--до 1682 недобор
Это ещё 3 дня
То есть они встретятся в течении 16-того дня.
Не претендую на правильность ответа, ошибки возможны запросто, но примерно так, наверное, можно решить.