Мне эту задачку задавали по математике в 5 классе. Я тогда в ручную решить не смог. (пришлось считать в Excel'е. Сейчас нашел старую тетрадку и решил дать задачу вам.
Вот и сам текст задачи:
Вычислили сумму цифр числа 109! (сто девять факториал). Затем вычислили сумму цифр вновь полученного числа и так продолжали до тех пор, пока не было получено однозначное число. Что это за число?
Если Вы решили, то, пожалуйста, объясните.

Да параллельно как-то подфакториальное число - лишь бы оно было больше восьми...
И для решения задачи владение факториальним исчислением как таковым не нужно - достаточно определения, что факториал есть произведение всех целых чисел от единицы до подфакториального числа включительно. То есть, умножаем 1 на 2, полученное произведение на 3, затем на 4, на 5, на 6, на 7, на 8, на 9, на... И в этот момент вспоминаем, что в третьем классе учителя старались вдолбить нам в башку правило делимости на 9: если сумма цифр числа делится на девять - чило делится на девять.
"Что мы имеем с гусь?" Правильно, шкварки. Уж если мы добрались до "умножить на 9" - полученное число делится на 9, значить, и сумма его цифр тоже делится на 9.
Ответ на поставленную задачу однозначен: искомая сумма равна 9.
PS. _(Не только для Megawolk'а)_
Не пытайтесь насиловать Excel подобными числами. Не по зубам ему...
Вот пример для тех же факториалов:
Обратите внимание на 19-ю строку - "контрольный поцелуй" показывает, что разрядность данных превышает возможности памяти. Мы начинаем терять цифры. Погрешности ничтожные, но во-первых - они накапливаются при каждом последующем умножении, а во-вторых (а для нашей задачи это как раз самое важное) - мы не сможем правильно посчитать сумму цифр.
Чтобы взять 109! на Excel'е, придётся вспомнить умножение на листе в клеточку и соответственно покопипастить формулы:
109!= 190 335 947 799 395 930 383 935 761 380 898 275 716 762 167 793 105 053 528 944 508 467 704 564 703 743 657 472 908 363 716 030 540 693 110 776 523 323 244 426 866 053 420 964 070 313 861 629 586 964 480 000 000 000 000 000 000 000 000, сумма цифр 693, этого числа сумма цифр 18, и снова сумма = 9.
Что и требовалось доказать!

На самом деле это задачка не на длительные вычисления, а на знания правил делимости чисел. Заданный факториал представляет собой последовательное произведение всех чисел от 1 до 109, то есть 1*2*3*4*...*108*109, но ведь можно легко этот ряд представить в виде (1*2*3*4*5*6*7*8*10*...*109)*9, то есть показать, что итоговое число, результат этого длительного умножения, будет обязательно делиться на девять. Какое бы не было большим и страшным число, если оно делится на девять, то сумма составляющих его цифр приведенная к однозначному числу также будет равна 9. То есть раз 109! будет делиться на 9 без остатка, то и сумма его цифр будет равна 9.

Это бухгалтерская задача, способ проверки правильности вычислений суммы чисел по основанию 9. Принцип прост. Сумму цифр всех чисел последовательно делят на 9 до получения однозначного остатка, так же поступают с результатом вычисления. Если остатки равны, то вычисление правильно. В примере, 57+52=109, 109:9, остаток - 1. 5+7+5+2=19, 19:9, остаток - 1. Решение верно. Вычисления с основанием 9 используются в математических фокусах.

Задача - классика олимпиад невысокого уровня.
Легко доказать, что S(x) и x имеют одинаковые остатки при делении на 9,где S(x)- сумма цифр натурального x.(Если нужно - покажу.
Следовательно и x и S(x)и S(S(x))) и т.д. будут иметь одинаковые остатки при делении на 9. Поскольку 109!делится на 9 , то и искомое однозначное число делится на 9. Но такое - только одно. Это 9.
А Вы, неуважаемый, ZAndrey, очевидно сами ***. Факториалы в школе вводятся в 5 классе по многим программам, т.к. это элементарное понятие и востребуемо во многих разделах школьной математики.

Очень легкая задача для школьной программы пятого класса.
Сумма числа 109 - 10. Далее складываем 1+0 и получаем единицу - это и есть целое однозначное число. 1 - правильный ответ на эту задачу.
Применять более сложное решение нецелесообразно.

решение, действительно, элиментарное.
Если речь идет именно о сумме цифр числа 109, то 1+0+9=10=1+0=1 и ответ 1.
Нас как-то заставляли посчитать сумму всех чисел от 1 до 100 или 109 включительно.
Делается тоже не сложно.
Просто 1+109 =110, 2+108=110, 3+107=110 и так далее, то есть понимаем, что таких пар будет 54 и 55 остается не парным.
Значит, 54*110+55 = 5995, кстати, тоже если все складывать, то потом получится 1.

На самом деле 109! = 144 385 958 320 249 358 220 488 210 246 279 753 379 312 820 313 396 029 159 834 075 622 223 337 844 983 482 099 636 001 195 615 259 277 084 033 387 619 818 092 804 737 714 758 384 244 334 160 217 374 720 000 000 000 000 000 000 000 000.
Сумма цифр этого числа - 657, 6+5+7=18, 1+8=9. Это и есть ответ.