Как сравнить без калькулятора две дроби 97/98 и 98/99?
Какая из них больше, какая меньше или они равны между собой?
Какой знак (< = >) следует подставить?

В данном случае самый простой вариант - округлить до целого числа, то есть, до единицы. Левая дробь меньше единицы на 1/98, правая - на 1/99. 1/98 > 1/99, то есть, к левой дроби нужно прибавить более большое число, чтобы получить единицу, поэтому 97/98 < 98/99.
                                                                              

Используется перекрёстное правило дробей. Числитель первой (левой) дроби умножается на знаменатель второй — это первое произведение. Числитель второй дроби умножается на знаменатель первой — это произведение второе. А затем остаётся сравнить 1-е и 2-е наши полученные произведения. Если 1-е произведение больше 2-го, то и левая дробь больше правой; если 2-е больше 1-го, то правая дробь больше левой, а при равенстве произведений и дроби равны.
Когда-то я сравнивал таким способом дроби на БВ, но меня отчего-то никто на тот момент не понял, в т. ч. и математики; пришлось чуть ли не час доказывать. Попробую сейчас на месте в данном ответе доказать вкратце. Возьмём дроби a/b и c/d. Если привести их к общему знаменателю bd (просто берём произведение знаменателей), то это будут дроби ad/(bd) и bc/(bd). Знаменатели теперь уже равны; осталось сравнить числители ad и bc. Вот и всё доказательство!
У нас 97/98 и 98/99. Нужно сравнить 97 * 99 и 98². Но, конечно, несомненен тот факт, что 97 * 99 = (98 – 1) * (98 + 1) = 98² – 1² = 98² – 1. Свернули по формуле разности квадратов. А 98² – 1 очевидно меньше, чем просто 98².
Значит, левое произведение оказалось меньше правого. Вывод: левая дробь 97/98 меньше правой дроби 98/99. Выбираем знак <.
Да и вообще: если a/b — правильная дробь (a < b, a > 0, b > 0), то дробь (a + m)/(b + m), если m — число положительное (m > 0), будет обязательно больше, чем исходная дробь a/b. В Вашей конкретной задаче: a = 97, b = 98, m = 1.