В ряд выписаны квадраты первых 2022 натуральных чисел:
1, 4, 9, . . . , 4088484. Для каждого выписанного числа, кроме первого и последнего, посчитали среднее арифметическое его левого и правого соседей и записали под ним (например, под числом 4
написали (1+9)/2 = 5). Для получившейся строки из 2020 чисел сделали то же самое. Так продолжали, пока не дошли до строки, в которой всего два числа. Чему они равны?

Для решения, давайте запишем вверху номера столбцов: натуральные числа от 1 до 2022
Под каждым числом запишем начальную строку условия: квадрат этого числа от 1² до 2022²
А дальше получим 1-ю строку на 2 числа меньше
2-ю строку на 4 числа меньше
k-ю строку на 2k чисел меньше
В конце останется строка с 2 числами. Эта строка на 2022-2 = 2020 чисел меньше. Значит это строка с номером 2020:2 = 1010.
Итак у нас 1010 строк с которыми производим действия. Под какими номерами (в каких столбцах) окажутся последние 2 числа? С каждой строкой с краев убирали по одному числу
Убираем с конца 1010 чисел 2022 - 1010 = 1012; И убрав с начала 1010 останется число 1011;
А теперь поймем что происходит.
Берем произвольное число n (столбец с номером n). Под ним стоит n²; слева от него стоит (n-1)², справа от него (n+1)²
И в 1 строке будет записано среднее арифметическое этих чисел:  ((n-1)² + (n+1)²)/2
Раскрываем скобки по формуле квадрат разности и квадрат суммы.
Удвоенные произведения сократятся и останется (2n²+2)/2 = n² + 1
То есть в 1-й строке в столбце n будет n²+1.
А что во 2-й строке: берем число n. под ним во первой строке n²+1; рядом слева (n-1)²+1; рядом справа (n+1)²+1: Снова найдем среднее арифметическое ((n-1)²+1 + (n+1)²+1)/2 = n²+2;
То есть во 2-й строке в столбце n будет n²+2.
Логично предположить, что в строке с номером k+1, будет число n²+(k+1).
Покажем это по индукции. Для первого шага все выполняется, тогда. 
Пусть в k строке n²+k находится в столбце n. Тогда слева (n-1)²+k;  справа (n+1)²+k
и среднее арифметическое в столбце n в следующей строке (k+1): ((n-1)²+k + (n+1)²+k)/2 = n²+(k+1);
Таким образом получаем, что в столбце 1011 в последней строке 1010 будет стоять число: 1011² + 1010 = 1 023 131
А в столбце 1012 в последней строке 1010 будет стоять число: 1012² + 1010 = 1 025 154
Ответ: 1 023 131 и 1 025 154