Как это решить Чему равен Х в уравнении А^X=√А?.

Допустимые значения для параметра a: a>0, a не равно 1
Для x - ограничений нет
a^x=a^0,5
ln(a^x)=ln(a^0,5)
x*ln(a)=0,5*ln(a)
x=0,5 (т.к. ln(a) не равен нулю)
Можно, конечно, свести к решению показательного уравнения a^x=a^0,5, откуда сразу следует, что x=0,5 (для девятиклассников)
А если желаете выпендриться, то вспоминайте определение корня: арифметическим квадратным корнем наз. неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению.
Тогда (a^x)^2=a, a^(2x)=a^1, 2x=1, x=0,5
                                                                              

Формулировка та ещё.
Если это уравнение в действительных числах с действительным параметром, то
a < 0 => x ∈ ∅;
a = 0 => x > 0;
0 < a < 1 => x = 1/2;
a = 1 => x ∈ ℝ;
a > 1 => x = 1/2.

Отвечаю на вопрос bezdelnik [30.1K] (т.е. с примерами).
Вся проблема в том, считать ли выражение в правой части исходного уравнения арифметическим корнем или нет. Но в школьной программе под записью корень(a) всегда понимается арифметический квадратный корень, т.е. неотрицательное действительное число, квадрат которого равен подкоренному выражению.
Отсюда получается решение "из a<0 следует x не существуют"
Если а=0, то по свойству арифметического корня правая часть уравнения равна 0 и приходим к равносильному уравнению 0^x=0. Степени нуля в школе подробно изучают для натуральных и рациональных чисел. Примеры: 0^2=0, 0^0,5=0. При этом рациональные показатели степени нуля  обязаны быть положительными (см. учебник). Отсюда следует решение "из a=0 следует x -  положительные рациональные числа" С иррациональными числами не так однозначно. Например, в школьном учебнике Колмогорова написано "Если a>0, то степенная функция [x^a] определена и при x=0, поскольку 0^a=0". Но вы нигде в этом учебнике не найдёте доказательства этого факта для иррациональных чисел. И не удивительно, т.к. доказательство должно строиться на свойствах действительных чисел и предельных переходах  (программа 1-го курса вуза). Но в школе теорию пределов вообще не дают (предельные переходы сводятся к правдоподобным рассуждениям). Доказательства строятся на фразах "эти наблюдения подсказывают" и "можно доказать, что" (цитаты). Поэтому предлагают просто поверить на слово. В старом учебнике, когда в программу ещё входили комплексные числа, встречалось также определение мнимой единицы с помощью равенства i^2=-1, которое многие вызубривали и считали за аксиому. Но это не определение, а необходимое свойство (вопрос уже обсуждался 2 года назад).
Ну и остаётся рассмотреть случай a=1, т.е. 1^x=1. Тогда должно получиться решение "из a=1 следует х-любые числа". Но опять с долей скепсиса. Так как в меру понимания школьника он должен говорить только о рациональных числах.
Становится понятным, почему многие преподаватели вузов возражают против преподавания матанализа в школе. Как заявил один доцент мехмата: "Категорически против!"

Переписываем пример в виде выражения а^х, причём и для левой части уравнения, и для правой. То есть максимально приближаем запись левой и правой частей. Получится вид:
а^(х) = а^(1/2), логарифмируя обе части уравнения по основанию (а), получим:
log (a) a^x = log (a) a^ (1/2)(1/2),
x * log (a) a = 1/2 * log (a) a,
x * 1 = 1/2 * (1),
x = 1/2. Это тривиальное упрощённое решение, без "заморочек".

Если использовать алгебраическую формулу: А в степени m/n равно корню n-ой степени из А в степени m.
То получится , что X равно 1/2.
Тогда уравнение будет выглядеть так:
(А) в степени 1/2 = корень квадратный из (А) в степени 1. Вот на картинке, чтобы понятнее:

Одной второй. Корень - это и есть возведение в степень (1/2).

Ответ зависит от того какое у нас число А.Если у нас арифметический квадратный корень,то А не может быть меньше 0.
А=0,тогда Х>0
А=1,тогда Х- любое действительное число
А- положительное число,кроме 1, тогда Х=1/2
А уж если имеется ввиду неарифметический квадратный корень,то есть
А-комплексное число с мнимой частью не равной 0,то Х=1/2