Чему равна минимальная высота H коробки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда с длиной 24 и с шириной 28,
в которой поместятся два шара радиусами R=12 и r=4?
Как примерно шары расположены - ясно из рисунка. Вид сбоку.

Решений предоставлено достаточно, но ответы не совпадают. Попробую решить эту задачу, так как это я понимаю. Все разговоры о плагиате, желающие высказаться, оставляють при себе.
Картинка к задаче не соответствует действительности. Дело в том, что если изображать шары в виде окружностей, то на виде с любой стороны параллелепипеда, они будут выглядеть, как две пересекающиеся окружности. Для того, чтобы увидеть касание окружностей их нужно рассматривать в плоскости перпендикулярной основанию и проходящей через центры шаров. В моем случае, это плоскость G-G.
Возьмем коробку и шары произвольного размера. Разместим их в диагонально противоположных углах параллелепипеда. На виде сверху это будет выглядеть следующим образом. Где a и b ширина и длина коробки, соответственно.
По теореме Пифагора несложно посчитать размер между осями шаров, перпендикулярных основанию коробки (L).
Подставив в формулу значения из условия задачи, получим L=4sqrt(13)=14.422   
Далее рассмотрим картинку в плоскости G-G
Расстояния между осями определено. Большой шар условно неподвижен, а маленький может перемещаться по вертикали. Естественно, нас интересует только вариант, когда окружности соприкасаются в одной точке.
Рассмотрим эту схему подробнее.
Опять же, несложно по Пифагору определить расстояние между центрами шаров, по вертикали.
При подстановке значений получим h=6.928
И далее, высота коробки будет равна R+h+r=22.928 , по маленькому шару. Изобразим картинку в масштабе.
Очевидно, что маленький шар спокойно поместится в свободный угол коробки и не будет принимать участие в формировании высоты коробки. А это значит, что высота коробки будет принята по размеру большого шара, то есть:
Высота коробки будет равна 24.
Задача оказалась с подвохом.
                                                                              

Мне кажется, что максимальная высота коробки 32 см, а минимальная высота коробки 28 см, потому, что два шара вместе в коробке не уместятся, поэтому один шар лежит снизу и у него диаметр 24 см, а сверху лежит еще один шар, диаметром 8 см, но у него маленький диаметр и он лежит сбоку коробки.
Если сложить диаметры двух шаров, то получится высота коробки должна быть 32 см, но так как маленький шар сбоку, то минимальная высота 28 см. Из радиуса большого шара если вычесть радиус маленького шара, то мы получим разницу 4 см, а это значит, из максимальной высоты, вычитаем 4 см, получаем минимальную высоту 28 см.

Задача на первый взгляд сложная, но если подумать то решение оказывается простым. Во-первых, надо учесть, что большой шар будет касаться двух противоположных боковых граней параллелипеда (диаметр шара равен 24, и сторона параллелепипеда тоже 24.
Во-вторых, чтобы маленькому шару осталось больше места (из условия минимизации), большой шар должен касаться еще одной боковой грани, тогда с другой стороны останется свободным параллелепипед сторонами 24, 4 , х см и сверху параллелепипед сторонами 24, 28 и х-24 см, где х - искомая высота параллелепипеда. Их пресечение образует параллелепипед сторонами 4, х-24, и 24 см.
Нам необходим его часть, где будет располагаться маленький шар, то есть параллелепипед сторонами 4,4, х-24, диагональ этого параллелепипеда должна быть больше диаметра маленького шара.
Решаем уравнение полученное из обобщенной теоремы Пифагора
16+16+(24-х)^2 = 8^2. Ответ будет таким, высота параллелепипеда должна быть не менее 30 см.

Когда большой шар будет уложен в коробку, то его края упрутся в ее стенки, которые равны 24 - то есть они равны диаметру шара. Другая же стенка будет отстоять от шара 28-24= 4. Останется пространство в 4 единицы, которое равно радиусу малого шара.  Это и является определяющим для определения высоты коробки. Это значит, что такое же расстояние в 4 единицы должно отделять верх крышки от шара. Таким образом Н=24+4=28.
Это можно проверить и геометрически. Достаточно провести касательные к большому шару через центр малого шара. Они пройдкут одинаково на расстоянии 4 и от стенки коробки и от крышки коробки.
Ответ Н=28.

24.
Рисунок вводит в заблуждение. Понятно, что минимум будет, когда маленький шар в "углу". Кстати, их можно уместить два - по одному в каждый угол.   
О₁, О₂ - центры окружностей.
Достаточно найти длину проекции отрезка О₁О₂ на нижнюю плоскость. О₁А = 4√13, Рис.1.
Затем "разницу" АО₂ между центрами по "высоте". Рис.2.
12 + 4 + 4√3 < 24.
Шары могли уместиться в коробке 24 х 24 х (16 + 8√2) ≈ 27,3.
Если бы длина была равна, скажем, 27, то  высота была бы более 24.

Хотя это конечно не принципиально, всё же, давайте поменяем местами длину и ширину, т.е. пусть дана коробка длиной 28 и шириной 24 см (так как-то нагляднее, привычнее).
Помещаем в коробку большой шар и ДВА маленьких (Спасибо FEBUS за идею с двумя маленькими шарами). Обозначим центр большого шара О1, а центры маленьких шаров О2 и О3.
При укладке маленьких шаров "как можно ниже", они оба будут касаться противоположных стенок, ограничивающих ширину коробки, и расстояние между их центрами (О2О3) равно 24-2*4=16 см.Очевидно, что О1О2=О1О3=16 см. Соединим центры шаров отрезками, получится равносторонний треугольник О1О2О3. Обозначим середину отрезка О2О3 точкой А. Очевидно, что О1А=8*√3. Проведём общую касательную плоскость к маленьким шарам. Середину между точками касания обозначим В. Очевидно, что АВ=4 см, и О1В=(8*√3+4) см.
Теперь рассмотрим "вид сбоку". Большой шар касается "левой стенки, ограничивающей длину коробки". Тогда расстояние от центра большого шара до "правой стенки, ограничивающей длину коробки", равно 28-12=16 см. Маленькие шары касаются "правой стенки, ограничивающей длину коробки", и расстояние от этой стенки до проекции О2О3 (она проектируется в точку (О4) равно 4 см. Точка О1 остаётся на месте, и расстояние О1О4 равно (8*√3+4) см. Проведём из точки О1 горизонтальную прямую линию, а из точки О4 - вертикальную прямую линию. Они пересекутся в точке С. Получаем прямоугольный треугольник О1О4С с гипотенузой О1О4 равной (8*√3+4) см и горизонтальным катетом 16-4=12 см.Тогда катет О4С (по сути, расстояние по вертикали между центрами большого и малых шаров) равно √((8*√3+4)^2-12^2)=8*√(1+√3).
Соответственно, необходимая высота коробки равна 12+8*√(1+√3)+4=29,22 см.

Я думаю минимальная высота должна быть равна 24, так как что бы поместить большой шар нужен радиус умноженный на 2. 24-высота коробки что бы уместились 2 шара