Каждый из 100 домов, расположенных в ряд, должен быть выкрашен в белый или желтый цвет. Никакие три подряд стоящих дома не окрашены в одинаковый цвет. Сколько существует способов раскрасить дома так, чтобы среди них было ровно 67 желтых?

Решим эту задачу по следующему алгоритму. Сначала найдем количество белых домов. 100-67=33. Итак, на 67 жёлтых домов у нас приходится 33 белых. Присмотримся к этим цифрам. Белых почти ровно вдвое меньше, чем жёлтых: 67:33= (66:33)+1=2+1. Вот этот лишний 67-й дом должен быть непременно жёлтым. А поскольку по условию три рядом стоящих дома не могут быть одного цвета, то этот лишний дом будет и последним в ряду, 100-м: 100:3=(99:3)+1=33+1. Итак, у нас получились 33 возможные комбинации из двух желтых и одного белого. Осталось определить, на какой из трёх позиций может размещаться цвет. Обозначим цвета первыми буквами слов и составим первую комбинацию: ж-ж-б. То есть, первый и второй дома покрасят жёлтым, третий - белым. Во второй тройке порядок повторится, и так далее для всех 33 троек. Теперь чуть изменим порядок: ж-б-ж. Условие тоже сохранится. А вот если начать окраску с белого, б-ж-ж, то в последней 33-й тройке условие нарушится: 100-й дом станет третьим подряд жёлтого цвета. Значит, правильным будет ответ: два способа - либо ж-ж-б, либо ж-б-ж