Чему равно количество 58-значных чисел, записываемых при помощи 31 нуля и 27 единиц, в записи которых не встречаются две цифры 1, идущие подряд?

Удаляем лишнее - связанные нули. Из общего количества n цифр вычитаем единицу, так как  первая цифра в числе не участвует в сочетаниях (перед ней нельзя располагать нули). Применяем формулу комбинаторики определения числа сочетаний из n элементов по m.
                                                                              

Последняя единица не связана с нулем справа, число начинается с единицы, получается что имеем 26 связанных с единицами нулей.
Так как единиц 27 то имеем 27 ячеек( 10|V|10|V|10...1|V|)
V - обозначает место для возможной группы из 0 или 5 свободных нулей.
Для первого нуля 27 вариантов для распределения.(10..1�0А..1)
Для второго нуля так же 27 вариантов. Так как нуль не уникальное размещаемое, то не важно будет ли наш новый нуль стоять за или перед первым нулем значит, это будет одно и тоже число. Значит количество ячеек не изменится и останется равным 27. А количество вариантов распределения 2-х нулей будет равно 27*27.
То есть задача на размещение с повторениями.
A(27;5)=27^5=14348�907

Сначала рассмотрим более простую задачу: как расположить единицу и 5 нулей, чтобы получить разные 6-значные числа. Таких числе будет разумеется 6. Вторая задача: как расположить 2 единицы и 6 нулей, чтобы получить разные 8-значные числа, чтобы единицы не стояли рядом. Рассмотрим число 101 и еще 5 нулей и опять получим 6 чисел и плюс 5 вариантов, когда нули находятся между единицами, итого - 11 чисел. Далее рассматриваем число 10101 и 5 нулей и 10 вариантов нахождения нулей между единицами, всего 16 чисел.
Возможное решение вашей задачи по аналогии для 27 единиц и 51 нуля будет таким: к 6 вариантам прибавляем число 27*5 = 135 и получим 141 58-значное число.

Пишем начальное число из 27 единиц и 27 нолей длина числа 54 разряда, далее замечаем, что хотя можно ставить 0 после каждой цифры количество различных чисел, полученных таким образом равно количеству групп нолей идущих подряд т.е. 27.
Например взять число 10 : можно дописать только 1 раз, хотя в числе 2 знака
если дописать 0 перед 0  получим 100 и если дописать 0 после 0  получим тоже 100
также если взять число 1000 можно получить только 1 число 10000, хотя знаков 4 и дописывать можно 4 раза, но будет то же самое число.
Так что количество различных двоичных чисел при добавлении нуля 4 раза равно
27*27*27*27 =  27⁴ = 531441

Поскольку количество нулей и единиц в таких числах по условию не совпадает, то общее их количество будет больше двух, а именно - оно будет равно количеству возможных сочетаний несвязанных четырех нулей на сетке из 58-ми разрядов каждого такого числа. По формулам комбинаторики надо решить выражение
58! / 4! * (58 - 4)! или
(55 * 56 * 57 * 58) / (1 * 2 * 3 * 4) = 424270.
Здесь надо брать именно сочетания, а не перестановки и размещения, поскольку в условии ничего не сказано про ограничения на эти "лишние" четыре нуля.

Считаем что 58-значное двоичное число это последовательность нулей и единиц, начинающаяся с 1 (лидирующие нули не пишутся).
берём начальное число (после каждой единицы следует нуль) всего 27*2=54 знака оставшиеся 4 (58-54=4) распределяем между ними.
Количество позиций для вставки первого нуля равно 54
Каждое из 54 чисел имеет 54 позиции для вставки нуля
. .
Общее количество равно 54*55*56*57=948024�0 , если считать , что двоичное число может начинаться с нуля то общее количество равно 55*56*57*58=101824�80