Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды в два раза больше площади основания. Найти угол между боковой поверхностью и основанием.

Как я понимаю, нас интересует угол SB1O. Равен он 60 градусам. Теперь покажем, как это появляется. Пусть сторона основания AB=x, высота боковой грани SB1=y, а высота пирамиды SO=h.
Площадь основания пирамиды S1=(Sqrt(3)/4)x^2, площадь боковой грани S2=0,5xy, площадь боковой поверхности S3=3S2=(3/2)xy.
По условиям задачи S3=2S1 -> (3/2)xy=2(Sqrt(3)/4)x^2 -> y=x/Sqrt(3)
Косинус искомого угла a=OB1/SB1=(0,5xtg(30g))/y=(0,5x(1/Sqrt(3))/x(1/Sqrt(3)), т.е. косинус равен 1/2, а это соответствует углу 60 градусов. 
                                                                              

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды в два раза больше площади основания. Найти угол между боковой поверхностью и основанием.
Боковая поверхность - 3ASC
Основание - ABC
Угол между боковой поверхностью и основанием - B1B
S - площадь
3S(ASC)=2S(ABC)
S(ASC)=(1/2)AC*SB1
S(ABC)=(1/2)AC*BB1
Подставляем две последние формулы в первую, получаем
3(1/2)AC*SB1=2(1/2)AC*BB1
SB1=(2/3)BB1
Точка O - пересечение медиан треугольника ABC, значит BB1= 3OB1
SB1=2OB1
Треугольник SOB1 прямоугольный с прямым углом SOB1, т.к SO является высотой пирамиды.
cos угла OB1S = OB1/SB1=1/2
Отсюда угол OB1S=60 грудусов, т.к. 1/2 это cos угла 60 градусов

Можно обойтись без синусов и косинусов.
Площадь боковой поверхности - это сумма площадей трех равнобедренных треугольников (например SAC), а площадь основания это площадь треугольника АВС. Поэтому 3*S(SAC) = 2*S (ABC). Это значит, что S(SAC) = 2/3*S (ABC), а значит и высота SВ1 = 2/3 ВВ1. Основание пирамиды равносторонний треугольник АВС, у которого высоты в точке пересечения делятся в отношении 2:1, то есть ОВ1 = 1/3 ВВ1. Соответственно в прямоугольном треугольнике OSB1 катет OB1 = 1/2 SB1 (гипотенузы). По известной теореме угол OSB1 = 30 градусов, тогда искомый угол ОВ1S hfdty 60 uhflecfv/

Площадь грани АСS равна (1/2)*(АС)*(SB1), а вся боковая поверхность S(б)=3/2*(АС)*(SB1).
Площадь основания равна S(о)=(1/2)*(АС)*(ВВ1).
По условию S(б)=2*S(о), т.е. 3/2*(АС)*(SB1)=2*(1/2)*(АС)*(ВВ1), отсюда (SB1)=(2/3)*(ВВ1).
Точка О - точка пересечения медиан треугольника АВС, поэтому отрезок (OB1)=(1/3)*(ВВ1).
cos(SB1O)=(OB1)/(SB1)=(1/3)*(ВВ1)/((2/3)*(ВВ1))=1/2, угол (SB1O) равен 60°.