Помогите решить Четные натуральные числа a и b таковы, что НОД(a,b) + НОК(a,b) = 2^25.

НОД двух чисел a и b - это наибольшее число, на которое оба числа a и b делятся без остатка, следовательно
а = p*НОД(a, b)
b = q*НОД(a, b)
где p и q - некоторые натуральные числа
НОК двух чисел a и b - это наименьшее натуральное число, которое делится нацело на каждое из этих чисел, следовательно:
НОК(a,b) = p*q*НОД(a, b) или:
НОД(a, b) = НОК(a,b)/(p*q)
отсюда получаем:
НОД(a,b) + НОК(a,b) = НОК(a,b) + НОК(a,b)/(p*q) = 2²⁵
НОК(a,b)*(1 + 1/(p*q)) = НОК(a,b)/(p*q)*(p*q + 1) = 2²⁵
принимая во внимание, следующее:
НОК(a,b) - натуральное число(p*q + 1) - также натуральное число(p*q + 1) не делится нацело на p*qследовательно для выполнения последнего равенства, необходимо, чтобы:
p*q + 1 = 2^m, где m ⩾ 1
НОК(a,b) = 2^n * (p*q)
подставляем в последнее выражение p*q = 2^m - 1, получаем:
НОК(a,b) = 2^n * (2^m - 1)
при этом: n + m = 25
по условию задачи, a и b - четные числа, следовательно НОК(a,b) - также должно быть четным числом
при этом (2^m - 1) - нечетное число, следовательно: n ⩾ 1
вспоминаем, что n + m = 25, получаем, что n может принимать следующие значения:
1, 2, ..., 23, 24
т.е всего существует 24 возможных варианта значений НОК(a,b), каждое из которых определятся по формуле:
НОК(a,b) = 2^n * (2^m - 1)
осталось только проверить, что для каждого из чисел 2^n * (2^m - 1) существуют такие четные числа a и b, что: НОК(a,b) = 2^n * (2^m - 1)
действительно, рассмотрим числа:
a = 2^n, b = 2^n * (2^m - 1)
несложно проверить, что НОК(a,b) = 2^n * (2^m - 1)
Ответ:
НОК(a,b) может принимать только 24 различных значений