Учитель выписал на доску несколько подряд идущих натуральных чисел, начиная с единицы. Петя заметил что ровно 17 из них делятся на 3, а Вася заметил что ровно 3 из них делятся на 13 . Сколько чисел на доске записал учитель?

В условии задачи сказано, что учитель написал подряд идущие натуральные числа, отвечающие условию, что в этом ряду 17 чисел делится на 3 и 3 числа делится на 13.
Теперь определим множество чисел, соответствующих этому условию.
17 чисел, делящихся на 3 составят последовательность - от 3 до (3 ∙ 17) = 51.3 числа, делящихся на 13 составят последовательность - от 13 до (13 ∙ 3) = 39.То есть, вторая последовательность является подмножеством первой и её не учитываем.
Проверим, не могут ли быть быть в данной последовательности ещё числа, после 51. Для этого определим четвёртое число, делящееся на 13.
4 ∙ 13 = 52Значит, последовательность чисел на доске ограничена числом 51.
Согласно условию, искомая последовательность начинается с единицы.
Поэтому правильный ответ будет такой: Учитель записал на доске 51 идущее подряд натуральное число, в диапазоне от 1 и до 51.
                                                                              модератор  выбрал этот ответ лучшим

Если на 13 делятся ровно три, то это, если по условию от 1 и далее, могут быть только число 13, число 26 и число 39. Какие числа делятся без остатка на 3? Если сумма чисел, в число входящих будет на 3 делится, то и число тоже делится. В нашем случае легче - нужно всякий раз прибавлять 3 к числам, начиная от 3. Что это значит? Просто нужно 17 умножить на 3 и получить 51. Это и будет верным ответом, то есть учитель потрудился, писать столько цифр не просто, и 51 число написал.

Нам необходимо, правильно решить данную математическую задачу, будем рассуждать. Предположим, что на доску было выписано N чисел. Наша последовательность состоит из первого числа - 1, а дальше следуют числа, которые делятся на - 2, 3, 4, 5, 6 и так далее.
Обозначим буквой k - количество чисел, которые делятся на 3, в последовательности чисел выписанных на доску. Получаем, 3K чисел, которые делятся на три.Предположим, из условия задачи k=17, значит получам пример, 3 * 17 = 51.
А М - у нас будет означать, количество чисел, которое делится на 13, 13 * 3 = 39.
Таким, образом мы имеем следующие уравнения: 3к = 51, 13м = 39. Решаем уравнение, поделив обе части на три, а второе уравнение на 13.
Получаем: к =17, м = 3.
Следовательно, мы получаем количество чисел выписанных на доску, будет выглядеть таким выражением:
3к + м = 3 * 17 + 3 = 51 + 3 = 54.
Правильным ответом на олимпиадную задачку по математике, будет число: 54, которые учитель выписал на доску.

Чтобы решить эту задачу надо понимать принцип умножения иначе придется складывать эти числа. Можно для примера порассуждать 3+3=6 это то же самое, что 3*2(кол-во чисел)=6, а 3+3+3=9 можно заменить на 3*3(кол-во)=9 и т.д.
В нашем случае в задаче 3*17(кол-во)=51. То есть, однозначно учитель записал от 51 до 53 чисел включительно. Берем еще числа 52 и 53 - они не делятся на 3, но учитель тоже мог их записать. Число 54 точно не подходит, так как оно будет уже 18 (54:3=18), что не соответствует условию задачи.
Теперь проверяем второе условие и считаем - сколько в диапазоне от 51 до 53 чисел, которые делятся на 13. У нас получается всего таких три числа - 13, 26 и 39. А  так как четвертое число, которое делится на 13, это 52, то получается, что допустимый диапазон ограничивается до 51 и правильный ответ 51.

Задача, собственно, просто будет решаться, поскольку даже по одному условию уже можно решить, это 3 по 17 раз дают 51. Это уже готовый ответ, но можно проверить так 51/13=3,9 примерно, но это не важно, ведь 3 по 13 уже есть.

На 13 делятся числа 13,26,39.
На 3 делятся числа :
3,6,9,12,...3*17.
А так как 3*17=51,то учитель получается написал 51 число.
То есть в промежуток 1---51
входят 17 чисел, которые делятся на 3, и 3 числа, которые делятся на 13.
Ответ:51 число написал учитель.

Это задание из олимпиады по математике 5 класса, которая прошла совсем недавно.
Сразу скажу правильный ответ, не стану томить, это 51.
А вот теперь небольшая расшифровка для понимания темы, почему именно 51.
Объяснение полное и должно быть понятно ученикам как 5, так и других классов.))

Если на тринадцать делятся 3 числа, то это соответственно: 13,, 26, 39
Если на 17 делятся три числа, то это соответственно 17 34 51.
Так как и 13 и 17 делятся только на себя и на единицу, то понятно, что самым старшим из написанных является число 51.Именно в пределах от 1 до 51 есть три числа 13, 26 и 39, которые делятся на 13 и три числа в этом промежутке, которые делятся на 17 - 17,34,51.
Таким образом учитель написал на доске 51 натуральных чисел от 1 до 51

Хорошая задачка на логику, внимательность и сообразительность.
Так как из условий мы знаем, что в числовом ряде, который был написан именно 17 чисел делятся на 3, то можно их выписать и начинать это стоит с 3:
3,6,9,12...
Продолжать можно дальше, а вот остановиться нужно на числе 51, так как из условий следует, что только три числа из них делится 13.
13, 26 и 39. Число 52 уже "лишнее", оно было бы четвертым.
3 × 17 = 51.

Натуральными числами называют числа, которые используются при счете предметов. Возникли при счете.
Числа идут подряд.
17 делятся на 3 без остатка.
В натуральном ряде каждое третье число делится на 3.
3 - на 13.
Ряд чисел, делящихся на 13: 13, 26, 39, 52 и т.д.
Количество чисел, которые написан учитель: 17 * 3 = 51. При записи 52 чисел уже будет 4 числа, которые делятся на 13.

Ответ: 51 число. 17*3=51; 13*3=39; 51-39=12 (значит 3 числа делятся на 13), поэтому правильный ответ 51 число.