{x} = {1/x}
И я знаю, что ответ - не только 1 и -1.

Конечно, не только. Ещё по определению расписываем два случая:
{

• = n ≥ 1;
  { x − n = 1/x;   
  {
• = n ≤ −2;
  { x − n = 1/x + 1;
  x(или 1/x) = ½·(n + √(n² + 4)); n ≥ 1; n ∈ ℤ.
  x(или 1/x) = ½·(n + 1 − √(n² + 2n + 5)); n ≤ −2; n ∈ ℤ.
                                                                                

Сначала нужно чётко представить себе определения, что такое целая часть числа "это целое число, не превосходящее рассматриваемое". Т.е. целая часть 1,34 равна 1, целая часть 0,2 равна 0, а целая часть -5,36 равна -6. Ну а дробная часть числа {x}=x-

• .
  Теперь попытаемся решить это уравнение графически.
  Рассмотрим график левой части. Сначала рассмотрим график функции у=х. Это прямая, проходящая через начало координат, с углом наклона 45°.График функции y=
• представляет собой серию коротких отрезков (длиной 1) горизонтальных линий, каждая из которых начинается в точках графика у=х, координаты которых выражаются целыми числами, т.е. в точках (-2;-2), (-1;-1),(0;0),(1;1),SHY и так далее в оба конца. А график функции y={x} будет представлять короткие отрезки прямых с углом наклона 45°, начинающихся в точках (-2;0), (-1;0),(0;0),(1;0),(�2;0) и так далее в обе стороны, т.е. получится что-то, похожее на изображение пилы, но без вертикальных линий.
  Теперь рассмотрим график функции y=1/x. Очевидно это будет гипербола. Рассмотрим сначала правую ветвь, т.е положительные значения х.
  При х>1 значения функции y=[1/x] равны нулю, т.е график функции y=[1/x] совпадает с осью абсцисс. Тогда, по определению [1/x]=1/x и график функции y={1/x} совпадает с графиком функции y=1/x. Взглянув внимательнее на получившийся чертёж видим, что графики функций y=x и y={x} пересекаются многократно, на каждом единичном отрезке.При 0<x<1 график функции y=1/x можно разбить, во всяком случае мысленно или теоретически на неравные участки, на границах которых значения y - целочисленные. На каждом из таких участков график функции y=[1/x] будет изображаться отрезком горизонтальной линии, начинающейся от правой границы участка. Ну а график функции y={1/x} будет на каждом участке изображаться наклонной линией с отрицательным угловым коэффициентом, и на каждом из этих участков он будет пересекаться с графиком функции y={x}. Таким образом в интервале значений (0;1] будет бесконечное число точек пересечения.Практически аналогичная картинка получится и при отрицательных значениях х. Таким образом, уравнение {x} = {1/x} имеет бесконечное число решений.
  

Задачи такого плана встречаются редко на БВ, поэтому я сразу не сообразил о чем речь. Обратился в личку за пояснениями к Рафаилу и он любезно все объяснил, за что ему спасибо.
Поскольку возможно я не один такой непонятливый, то хочу добавить к его ответу графическое дополнение.
И так, оператор flor берет целую часть числа. Следовательно x-flor(x) это есть дробная часть переменной X.
Как видно из графика, эти функции имеют множество пересечений, а значит уравнение имеет множество решений.
Число решений стремиться к бесконечности не только при увеличении Х, но и когда он уменьшается в зоне нуля. То есть, решений не много, а немыслимо много.
Единственные целые значения икса равны единице и минус единице.