Число «999 факториал» против числа «пятьсот в девятьсот девяносто девятой степени».
Как сравнить 999! и 500^999, как определить, что из этого больше?
И есть ли какой-нибудь общий, универсальный алгоритм для подобных случаев?

Что такое 999! ? Это 999! = 1 • 2 • 3 • ... • 999 итого 999 множителей и 500 посередине
А что такое 500⁹⁹⁹ ? Это 500⁹⁹⁹ = 500 • 500 • 500 • ... • 500 итого тоже 999 множителей и 500 посередине
А теперь 999! разобьем множители на пары от середины: 500 • (498•501) • (497•502) • ... • (1•999)
А 500⁹⁹⁹ разобьем множители на пары: 500 • (500•500) • (500•500) • ... • (500•500)
Получим 500 умножить на 499 пар чисел и в одном и в другом случае.
Сравним эти пары.
498•501 = 249498, а 500•500 = 250000. Видим, что пара 500•500 > 498•501. Для остальных пар будет аналогично.
Но давайте докажем это в общем виде
С одной стороны у нас пары (n-k)•(n+k) = n² - k²
А с другой стороны  пары n•n = n²
Ну естественно для каждой пары получаем n² > n² - k², где k - натуральное, 1<k<n
Таким образом получаем 500⁹⁹⁹ > 999!