Объясните, пожалуйста, как мы пришли к такому решению?
(Почему нам понадобились вертикальные углы, зачем нам симметрия, почему расстояние?.. И так далее).

В основе данного решения лежит графический метод. То есть раскладываем на уравнения и отмечаем области подходящих решений.
Возьмем первое неравенство системы: (y - 2x)(2y -x) ≤ 0
Когда произведение меньше 0? Когда множители имеют разные знаки (отрицательное умножим на положительное.
То есть 2 варианта: ( y - 2x ≤ 0 и 2y - x ≥ 0 ) или ( y - 2x ≥ 0 и 2y - x ≤ 0 )
1 Вариант. y -2x ≤ 0 и 2y - x ≥ 0
или
y ≤ 2x и y ≥ x/2
Нарисуем уравнения на графике и отметим области удовлетворяющие неравенству
Строим прямую y = 2x и штрихуем область вместе с прямой ниже её.
Строим прямую y = x/2 и штрихуем область вместе с прямой выше её.
Совмещаем обе области. пересечение будет отмечено голубым цветом на третьем рисунке.
Аналогично 2 Вариант
y ≥ 2x и y ≤ x/2
Здесь эти же прямые, только области наоборот.
Получаем пересечение (голубая штриховка) отмеченная на рисунке.
У нас объединение этих областей (между вариантами "или"). Получим объединенные области, как раз заключенными между вертикальными углами этих прямых, отмеченные на рисунке
То есть множество решений первого неравенства, графически отмечено на рисунке. Область внутри вертикальных углов ограниченных прямыми y = 2x и y = x/2, включая сами прямые (границы углов)
Теперь рассмотрим второе уравнение
√((x+a)² + (y-a)²) = |a+1|/√5
Так как под знаком корня точно неотрицательное число (сумма двух квадратов чисел)
И справа от знака равенства неотрицательное число,
то можно равносильно возвести в квадрат не потеряв и не приобретя новых корней.
Получим (x+a)² + (y-a)² = (|a+1|/√5)² - а это ничто иное, как уравнение окружности
(x-x₀)² + (y-y₀)² = R² с центром в точке O(х₀;y₀) и радиуса R
Вот и получаем окружность с центром в точке (-a; a) и радиус R = |a+1|/√5
Как видим, тут расположение центра и величина радиуса окружности будет зависеть от значения параметра "а"
Но где может располагаться центр окружности у которого координаты противоположны друг другу. Выразим это зависимостью y = -x. То есть центр окружность находится на прямой у = -х
И давайте предположим возможные варианты расположения окружности и областей из первого неравенства (решением будет точки пересечения)
 Окружность может пересечь область и будет тогда бесконечно много решений (первый рисунок). Окружность может не пересечь область и и не будет решений (второй рисунок). Нас это не интересует.
Есть ещё вариант, когда окружность становится точкой. То есть при a = 0, но тогда будет одна точка пересечения (0; 0) - и этот вариант тоже не интересует.
А может окружность коснуться прямых и тогда будет только 2 решения - точки касания (3-й и 4-й рисунок). Вот это нам как раз и нужно.
Ну а дальше понятно, что решением будет такая окружность, чтоб нарисованные прямые были касательными. А радиус, как мы знаем, перпендикулярен касательным, а расстояние от точки до прямой - это есть длина перпендикуляра. То есть надо найти такое "a", чтоб центр и радиус получились такими, что как раз были расстоянием от центра до прямой.
Про симметрию упоминание для того, чтоб понять, что касание произойдет одновременно в две прямые y=2x и y = x/2
Далее уже геометрия. Получили прямоугольный треугольник PKO. Из которого записывают равенство PK = PO • sin (45˚ + α), на рисунке же это видно. Но перерисуем
     Причем PO - это диагональ квадрата со стороной "a". Значит PO = |a|√2   
Вот дальше и считают, используя тригонометрические формулы и тот факт, что tgα = 1/2 - коэффициент угла наклона прямой y = (1/2)x
В итоге расчетов получили PK = 3|a|/√5
Но знаем, что PK - это радиус = |a+1|/√5
Приравниваем и получаем 3|a| = |a+1|
И решая получаем a = 1/2  или  а = -1/4