Расстояние между пристанями А  и  В равно 140 км. Из  А в  В  по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В , тотчас повернула обратно и возвратилась в  А. К этому времени плот прошел 52 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Плот, очевидно, плывет вниз по течению со скоростью течения реки, т. е. в пути он находится 52 / 4 = 13 часов. Тогда яхта на весь путь туда и обратно затратила 12 часов, так как отошла от пристани на час позже плота. И за эти 12 часов яхта преодолела 140 км туда и 140 - обратно, сначала по течению, затем - против течения. Если принять собственную скорость яхты за Х, можно составить уравнение:
140 / (Х + 4) + 140 / (Х - 4) = 12
(140 (Х - 4) + 140 (Х + 4)) / (Х - 4)*(Х + 4) = 12
280Х / (Х^2 - 16) = 12
280Х = 12Х^2 - 192
12Х^2 - 280Х - 192 = 0
Данное квадратное уравнение решается обычным способом через дискриминант, имеет два корня, один из них - отрицательный, т. е. нас не интересует, а второй - положительный, и равен 24 (км/час) - это и есть собственная скорость яхты в неподвижной воде.
И действительно, если в одну сторону яхта плыла со скоростью 28 км/час, то путь у нее занял
140 / 28 = 5 часов, а обратно - со скоростью 20 км/час, то путь у нее занял 140 / 20 = 7 часов, итого как раз 12 часов.
                                                                              

Путь пройденный яхтой туда и обратно будет равен:
140 км * 2 = 280 км;
Далее, предположим, что если бы плот выплыл одновременно с яхтой, то есть на 1 час позже, то он проплыл бы меньшее расстояние на величину скорости течения реки. При этом и плот и яхта затрачивают одинаковое время на плавание.
52 км -4 км=48 км;
На весь путь плот затратил бы:
48 км / 4 км/час = 12 часов;
И скорость яхты без учета скорости течения реки будет равна:
280 км / 12 часов = 23,33 км/час.
Ответ: 23,33 км/час.

Плот у нас собственной скорости не имеет, а значит плывет со скоростью реки. V(пл) = 4 км/ч.Всего плот прошел 52 км, значит плыл 52:4 часа t(пл) = 13ч
Яхта плыла на один час меньше плота, значит ВСË ВРЕМЯ ЯХТЫ 12ч
Пусть Х - собственная скорость яхты.
По течению Яхта плывет со скоростью Х+4 (тк течение помогает ей плыть)
Против течения Яхта плывет со скоростью Х-4 (течение плыть мешает)
Мы знаем, что время - это расстояние разделить на скорость. Значит, по течению яхта плыла 140/(Х+4) часов
Против течения 140/(Х-4) часов
Вспоминаем, что всего она плыла 12 часов, а это время по течению, плюс время против!
Получаем уравнение:
12= 140/(Х+4) + 140/(Х-4) ; | поделим всë на 4
3 = 35/(Х+4) + 35/(Х-4) ; | домножим всë на знаменатели наших дробей, всë равно они не равны нулю
3*(Х+4)*(Х-4) = 35*(Х-4) + 35*(Х+4) ; | раскрываем скобки
3(Х^2 -4^2) = 35Х - 35*4 + 35Х + 35*4 ; | 35 на 4 можно не перемножать, тк 35*4-35*4 равно 0
3Х^2 - 48 = 70Х; | переносим всë в одну сторону
3Х^2 - 70Х - 48 = 0;
ДИСКРИМИНАНТ:
70*70 + 4*3*48 = 4900 + 576 = 5476 = 74^2
√D = 74
Х1= (70+74)/6 = 24
Х2= (70-74)/6 = -4:6
Второй икс нам не подойдет, тк он отрицательный, а мы искали скорость. Его можно не считать даже до конца.
Ответ: 24км/ч

Плот свои 52 километра прошёл за:
52км / 4км/ч = 13 часов,
следовательно, яхта двигалась:
13ч - 1ч = 12 часов,
за это время яхта преодолела расстояние в:
140км + 140км = 280км,
следовательно, средняя скорость яхты, нужная нам для прикидки, равна:
280км / 12ч = 23.33км/ч,
отсюда можно предположим, что собственная скорость яхты равна 24км/ч.
Давайте проверим:
(140км / 28км/ч) + (140км / 20км/ч) = 12ч,
сошлось.
Ответ на задачу: собственная скорость яхты в стоячей воде равна 24км/ч.