В наборе 27 гирек, массы которых равны 1 г, 2 г, ..., 27 г. Каждая гирька сделана либо из алюминия, либо из железа, либо из меди, при этом средняя масса алюминиевых гирек равна 15 г, железных – 3 г, а медных – 18 г. Сколько алюминиевых гирек может быть в наборе?

Для начала посчитаем общую массу гирек: (сумма арифметической прогрессии) S = (1+27)•27/2 = 378
Пусть х - количество алюминиевых гирек, тогда их общий вес = 15х
Пусть y - количество медных гирек, тогда их общий вес = 18y
Пусть z - количество железных гирек, тогда их общий вес = 3z
Учтем, что х + y + z = 27, тогда z = 27 - x - y и то что х, y, z - натуральные числа от 1 до 25
Еще учтем, что каждого вида гирек не может быть больше, чем количество от среднего арифметического до крайней гирьки, умноженное на 2 + 1 гирька.
То есть для железных  z ≤ (3-1)•2 + 1 = 5
Для алюминиевых x ≤ (27-15)•2 + 1 = 25
Для медных y ≤ (27 - 18)•2 + 1 = 19
Получаем уравнение: 15x + 18y + 3z = 378
Сократим на 3
5x + 6y + z = 126
Заменим z
5x + 6y + 27 - x - y = 126
4x + 5y = 99
Далее: сума нечетна и первое слагаемое четное, значит второе слагаемое нечетно. То есть второе слагаемое будет оканчиваться на 5. Тогда первое слагаемое должно оканчиваться на 4, чтоб в сумме получить 9
Таким образом для первого слагаемого следующие варианты для х:
х = {1; 6; 11; 16; 21}, соответсвенно для каждого тогда определяется y и z. Получаются тройки чисел:
(x; y; z) = {(1; 19; 7), (6; 15; 6), (11; 11; 5), (16; 7; 4), (21; 3; 3)}
Но первые две тройки не удовлетворяют условию z ≤ 5
Таким образом остается три варианта: (x; y; z) = {(11; 11; 5), (16; 7; 4), (21; 3; 3)}
Хоть этого в задаче и не требуется, но приведем соответсвующие примеры.
(11; 11; 5)
железных 5: (1; 2; 3; 4; 5) среднее 15/5 = 3
медных 11: (9; 10; 11; 12; 13; 18; 23; 24; 25; 26; 27)  среднее 198/11 = 18
алюминиевых 11: (6; 7; 8; 14; 15; 16; 17; 19; 20; 21; 22) среднее 165/11 = 15
(16; 7; 4)
железных 4: (1; 2; 4; 5) среднее 12/4 = 3
медных 7: (9; 10; 11; 18; 25; 26; 27)  среднее 126/7 = 18
алюминиевых 16: (3; 6; 7; 8; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 19; 20; 21; 22; 23; 24) среднее 240/16 = 15
(21; 3; 3)
железных 3: (1; 3; 5) среднее 9/3 = 3
медных 3: (17; 18; 19)  среднее 54/3 = 18
алюминиевых 21: (2; 4; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27) среднее 315/21 = 15
Ответ: алюминиевых гирек может быть: 11; 16; 21   

Распишем все три максимально возможных множества (Ж, М и А) гирек (из множества от 1 до 27), независимо пока что друг от друга:
Ж: от 1г до 5г, среднее 3г,
М: от 9г до 27г, среднее 18г,
А: от 3г до 27г, среднее 15г.
Как видно отсюда, область 1г и 2г перекрывают только Ж. Значит, эти гирьки остаются в любом случае.
Нужно помнить, что оставляя Ж 1г и 2г, нужно оставить ещё Ж 4г и 5г. Следовательно, 4г и 5г нужно исключить из А, а заодно с ними 25г и 26г.
Таким образом, зоны от 1г до 8г и от 25г до 26г перекрыты однозначно.
Уберём М 9г и 27г, увеличив зоны однозначного перекрытия от 1г до 9г и от 25г до 27г.
Зона от 10г до 24г пока перекрывается одновременно гирьками и М и А.
Уберём гирьки А от 10г до 20г.
Остаётся зона общего перекрытия от 21г до 24г. Убирать А эти гирьки нельзя ни в коем случае, иначе придётся убирать и А от 6г до 9г, у эту зону перекрывают только они.
Значит, однозначно нужно убрать М от 21г до 24г и заодно М от 12г до 15г.
Зона от 12г до 15г осталась незанятой. Чтобы её занять А, нужно убрать все Ж от 16г до 20г.
И так, вводя А от 12г до 18г, никак не удаётся хоть чем-то перекрыть зону 19г и 20г.
Данная задача имеет противоречивые условия.
Задача решения не имеет.

Задание, конечно, не из простых. Наверняка есть математический способ решить это задание, но я могу только методом подстановок.
Средняя масса всех гирек равна 14 г, а общий вес всех гирек 378 г
Допустим,
Общая масса алюминиевых гирек может быть 15( тогда в наборе только одна гиря) или 30 (когда в наборе 2 гири), 45 (3), 60 (4), 75 (5), 90 (6), 105, 120, 135...
Железные гири — 3( 1), 6(2), 9(3), 12(4), 15(5), 18(6), 21(7), 24(, 27 (9), 30(10), 33(11), 36(12), 39(13)...
Ну и медные 18(1), 36(2), 54(3), 72(4), 90(5), 108(6), 126(7), 144(
Что нам это даёт? Не очень много, но так хотя бы мне будет легче подбирать возможные варианты.
Проще всего мне было бы начать с железных гирек. Их может быть либо 1 весле 3 г, либо 2 (1 и 5, 2 и 4) либо 3 (1, 2, 6; 1, 3, 5; 2, 3, 4). Хочется надеяться, что гирек было немного. Методом разных подборов я пришла к такому выводу:
Допустим, железных гирек было всего 3 (1, 2, 6) и медных тоже пусть будет 3 (17, 18, 19). Тогда алюминиевых 21.
Наверняка, есть ещё какое-то соотношение, но мне надоело решать. Остановлюсь на ответе 21.