На какое одно двухзначное число, обязательно разделятся без остатка все шестизначные числа с одинаковыми цифрами?111111 ...... 999999
Нужно объяснение или доказательство.

Вспомнается первый признак деления на 11:
Если число состоит из  одинаковых цифр  и количество этих цифр четно, то знакочередующаяся сумма (S) для этого числа будет иметь вид:
S=N-N+...-N=0
Получаем что шестизначное число из одинаковых цифр всегда разделится без остатка на 11.
Ответ: 11 - двузначное число на которое разделится любое число вида:111111,...,999999:
111111/11=10101222222/11=20202333333/11=30303444444/11=40404555555/11=50505666666/11=60606777777/11=70707888888/11=80808999999/11=90909Полный список двузначных чисел, на которые шестизначные 111111,...,999999 разделятся без остатка:
1113213337 397791                                                                              

Каждое из этих чисел 111111,222222,.и тд. ..999999 делится нацело на 111111.
Разложил 111111 на простые множители:
111111=3*7*11*13*37.
Остальные числа ( от 222222 до 999999) тоже делятся на эти простые множители.
Здесь уже есть три двухзначных делителя:.
11,13, 37.
Остальные получаются их произведением на 3 и 7 и еще одно как произведение самих 3 и 7 (выберем двухзначные произведения) :
3*7=21
11*3=33
13*3=39
11*7=77
13*7=91
При желании можно получить многозначные делители:
Например: 3*7*11=231
Ну и касаясь нахождения простых множителей числа 111111: это можно просто подбором на калькуляторе или применяя еще признаки делимости. В данном случае на 3,7,11,13.На 37 можно догадаться

Безусловно,  что  ответом  будет  11.  И  это  очень  легко  объяснить  и  продемонстрировать.  Поскольку  указанные  шестизначные  числа  состоят  из  трех  групп  с  совершенно  одинаковыми  свойствами.  Это  группа  десятков  и  единиц,  группа  сотен  и  тысяч  и  группа  десятков  и  сотен  тысяч.  Все  они  образованы  по  единому  принципу,  то  есть  каждая  такая  группа  состоит  из  11  числовых  разрядов  наименьшего  в  группе  значения  (например,  для  первой  группы  это  единицы),  умноженной  на  любое  натуральное  число  от  единицы  до  девяти  (то
есть  это  11  единиц,  или  22  единицы  и  т.д.  до  99  единиц).  Безусловно,  что  таким  образом  образованные  числа  будут  без  остатка  делиться  на  11  независимо  от  их  размерности  (то  есть  все  равно  44  единицы  или  44  сотни  или  44  миллиона).
Исходя  из  сказанного,  на  то  же  самое  число  1  без  остатка  будут  делиться  любые  числа  четной  размерности  (то  есть  восьмизначные  и  22-значные  и  156-значные),  состоящие  из  одинаковых  цифр.
Ответ:  на  11.       

Насколько я понял, то такого двузначного числа не существует. Есть однозначные числа, но двузначного не нашёл сам и даже при помощи компьютерного алгоритма - он просто написал "Not found for this number". Шестизначные числа, состоящие из одной нечётной цифры являются нечётными, а из чётной цифры - соответственно чётными. А из признаков делимости числа, не каждое из этих чисел может делиться нацело и без остатка на одно и то же число.
Конечно же, я могу ошибаться и искренне прошу прощения, если это так... Буду рад объяснению, если решение этой задачи есть