Что такое поворотная гомотетия? Как это понять? Если возможно, покажите на примерах.

Для того чтоб объяснить этот термин, разберем сначала что такое гомотетия. Потом разберем что такое поворот. А уж потом перейдем к поворотной гомотетии.
Все это преобразование плоскости (давайте ограничимся планиметрией, хотя можно преобразовывать и пространство аналогично)
Преобразование плоскости. Это когда некая точка плоскости переходит в определенную неким условием (правилом) точку этой плоскости.
Гомотетия - это преобразование по следующему правилу. Фиксируется некая точка O на плоскости - называется центром гомотетии. И вводится некое число k≠0 - называется коэффициентом гомотетии. При гомотетии любая точка Х отображается в точку Х' так что
вектор ОХ' = вектору k•OX. Если по простому. То проводим прямую OX и на этой прямой откладываем расстояние |OX'| = k•|OX|, причем если k<0, то в противоположную сторону.
Смотрим на рисунке пример перехода ∆ABC в ∆A₁B₁C₁ гомотетией с центром O и k=2 (красный треугольник)
и переходом  ∆ABC в ∆A₂B₂C₂ гомотетией с центром O и k=-1 (зеленый треугольник)
   Видим красный треугольник увеличенный в 2 раза, а зеленый такого же размера но отражен в противоположную сторону.
Свойства гомотетии разбирать не будем и подробно задерживаться тоже.
Теперь поворот - преобразование плоскости по следующему правилу. Фиксируется некая точка O - центр поворота. И задается некий угол α - угол поворота. Должно ещё быть задано направление поворота по хорошему. В планиметрии угол поворота -π < α ≤ π и положительные углы против часовой стрелки, а отрицательные по часовой стрелки.
Каждая точка Х переходит в точку Х', такую что OX' = OX и ∠XOX' = α
На рисунке выше зеленый ∆A₂B₂C₂ можно получить из ∆ABC поворотом на α = 180˚ (α = π)
Приведем еще рисунок поворота этого ∆ABC на угол α
Так же свойства и подробности поворота разбирать не будем
Когда разобрали поворот и гомотетию. Теперь ответим на вопрос, что же такое поворотная гомотетия. Это преобразование плоскости состоящее из композиции преобразований поворота и гомотетии с одним и тем же центром. Композиция преобразований - это когда выполняется одно преобразование и с его результатом выполняется другое преобразование.
То есть выполняем поворот с центром O и углом α, а потом выполняем гомотетию с этим же центром O и коэффициентом k
Смотрим на рисунок
 То есть из ∆ABC получили поворотом с центром O на угол α = 90° ∆A₁B₁C₁-зеленый треугольник
А из ∆A₁B₁C₁ гомотетией с центром O и коэффициентом k=2 получили ∆A₂B₂C₂ - красный треугольник
Это и есть преобразование поворотная гомотетия с центром О, углом α = 90° и k=2 из     
∆ABC получили ∆A₂B₂C₂