Помогите решить Как решить задачу в которой Марине приснился треугольник с сторонами 9 и 4?.

Формула для нахождения биссектрисы:
BD = AB*BC*2*cos ABD)/(AB + BC). Суть в том, что косинус берётся от угла АВD, но он равен углу DВС и его надо умножить на два. Но подсчёт идёт с косинусом одного угла. Заменяю числами. Вычисляю:
6 = 9*4*2*cos ABD)/(9 + 4).
6 = 36*2*cos ABD/13. Избавляюсь от множителя 13 и умножаю:
6*13 = 72*cos ABD.
78 = 72*cos ABD.
cos ABD = 78/72 = 13/12 = 1,08333333333 ~ 1.
Смотрю таблицу косинусов:
Угол такой величины в 360 градусов не может быть в принципе. Лучше бы Марине кукла Барби приснилась вместо биссектрисы в 6 единиц. Я позвонила подруге. Она подтвердила мои опасения. Биссектриса не может иметь величину в 6 единиц в этом треугольнике.
Мой ответ: Марине приснился неправдоподобный треугольник или биссектриса неправдоподобная.
                                                                              

Сразу бросается в глаза, что треугольники АВС и ВСD - подобные! Подобие подтверждается по признаку одного равного угла, находящегося между двух пропорциональных сторон: ВD/АВ = ВС/ВD = 2/3.
Это означает, что пропорциональной должна быть и третья пара: СD/АD (тоже должно равняться 2/3).
Проверяем это наше предположение с помощью теоремы косинусов. Пишем ее сначала для отрезка АD, а потом для отрезка СD. При этом, конечно, учитываем, что у нас углы АВD и DВС - равны, так как ВD - биссектриса, по условию задачи. Итак:
АD в квадрате = АВ в квадрате + ВD в квадрате минус 2*АВ*ВD*соs альфа.
DС в квадрате = ВD в квадрате + ВС в квадрате минус 2*ВD*ВС*соs альфа.
Подставляем цифры:
АD в квадрате = 81+36-108АD*соs альфа=117-108АD*соs альфа.
DС в квадрате = 36+16-48АD*соs альфа=52-48АD*соs альфа.
В обоих выражениях выносим за скобки общие множители:
АD в квадрате = 9(13-12соs альфа)
DС в квадрате = 4(13-12соs альфа)
Теперь делим DС в квадрате на АD в квадрате, чтобы узнать коэффициент пропорциональности. Получаем:
DС/АD = 4(13-12соs альфа) /  9(13-12соs альфа)
Тут сокращаем общую скобку (13-12соs альфа) и получаем 4/9. Это отношение квадратов, а отношение отрезков будет 2/3 (для этого находим квадратный корень из 4/9).
То есть мы видим, что да - треугольники подобные. Они существуют, их можно построить. Сторона АD вполне может иметь место при биссектрисе ВD.
Значит, ответ - треугольники возможны! Сон Марине приснился правильный!

Длина биссектрисы выражается через длины сторон треугольника по формуле (из теоремы три по ссылке)
L = sqrt(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)
В нашем случае L = 6, b = 9, c = 4.
Остаётся найти а.
6 = sqrt(36(a+13)(13-a))/13 = 6 sqrt(169 - a^2)/13
169 = 169 - a^2
a=0
Треугольник с длиной стороны равной нулю может присниться, но в геометрии его даже нельзя признать в качестве вырожденного.