Артем решил определить объем аквариума в форме прямоугольного параллелепипеда с помощью рулетки, а Гоша - мензуры. После наполнения аквариума водой, Гоша получил значение его объема, выраженное шестизначным  числом в мл, о чем поделился с другом. Артем измерил диагонали двух стенок аквариума, которые составили 51 и 117 см и подтвердил результат Гоши.

Наверное, предложенный мной метод - не совсем то, что ожидается, но данных в задаче явно не хватает, а потому без перебора на определенном этапе решить ее не получится.
Итак, пусть стороны аквариума равны a, b и с см. Исходя из данных, имеем систему уравнений
{a² + b² = 51²
{b² + c² = 117².
Отсюда
c = √(11088 - а²),
из чего следует, что с ≥ 106. А с другой стороны из второго уравнения системы с < 117.
Если я правильно поняла условие, длина ребер аквариума выражена натуральными числами. И вот, наконец-то, мы добрались до перебора. Во второе уравнение системы последовательно подставляем значения с от 106 до 116 включительно и смотрим, при каких с значение b также будет натуральным.
Мне повезло, уже на третьем шаге при с, равном 108, значение b получилось равным 45. И еще больший успех: при b = 45, из первого уравнения а = 24.
Ну а объем аквариума в этом случае представляет собой как раз таки шестизначное число.
24 * 45 * 108 = 116 640.