В треугольник, длины сторон которого относятся как m:n:p, вписан круг. Найти отношение, в котором каждая точка касания делит соответствующую сторону треугольника.

Задача из курса геометрии за 10-11 классы о треугольнике с вписанной в него окружностью.
Так как окружность вписана, то рёбра треугольника являются касательными к окружности. По теореме о двух касательных, исходящих из одной точке нам известно, что отрезки касательных равны. Это следует из свойства 2 теоремы.
Обозначим за X одну из частей ребра треугольника от вершины до точки касания окружности. Тогда можем записать следующие соотношения:
X/(m - X)
X/(p - X)
(m - X)/(n - (m - X))
Эти соотношения нам необходимо узнать по условию задачи. Осталось избавиться от X.
Заметим, что из ранее отмеченного равенства отрезков касательных следует: n - (m - X) = p - X. Получили линейное уравнение, из которого легко находим X = 0.5(p+m-n)
Подставляем X в ранее составленные соотношения. Проводим элементарные преобразования. Получим искомые соотношения.
Ответ: каждая точка касания делит соответствующую сторону треугольника в соотношении:
(m-p+n)/(n-m+p)
(m+p-n)/(n-m+p)
(m+p-n)/(n+m-p)