Дима написал на доске 100 различных натуральных чисел. затем он некоторые числа умножил на 2, некоторые на 3, а остальные - на 5. какое наименьшее количество различных чисел может быть среди 100 результатов?

Эту задачу можно встретить на олимпиаде по математике.
Тут нужно понимать, что если умножать одно и тоже число на разные числа, то результаты будут разные. В нашем распоряжении есть 3 числа, а именно 2, 3, 5. Ниже представлено решение этой задачи:
Правильный ответ на вопрос - тридцать четыре результата.
                                                                              

Если решить данную задачу, ответ должен получится равным 34. То есть наименьшее количество различных чисел среди 100 результатов будет 34.
 Рекомендую взять эту задачку на заметку, так как очень часто попадется на олимпиадах.

Чтоб получить наименьшее количество различных, надо постараться получить наибольшее количество совпадающих.
Если умножать различные числа на одно и тоже число, то будем получать различные.
Когда числа совпадут? Когда некоторые числа умножаем на разные. Например взяли число 6 и умножим его на 5 получим в результате 30.
А другое число возьмем 10 и умножим на 3, то получим опять 30. Еще третье число возьмем 15 и умножим на 2 - и снова результат 30. В результате 3 числа совпали.
Становится понятным, что числа надо подбирать таким образом, чтоб они были кратны парам чисел и домножать его на третье.
В результате будут получаться числа вида 2•3•5•n (n-натуральное число)
То есть берем различные числа: 2•3•n (его домножим на 5); 2•5•n (его домножим на 3); 3•5•n (его домножим на 2). Для одного значения n, это разные тройки чисел дающие одинаковые числа после умножения. Потом меняем n и получаем следующие 3 числа дающие в результате совпадающее число.
Таким образом получим 100:3 = 33 таких тройки. То есть 33 совпадающих числа.
Покажем, что больше нельзя. Предположим, что совпадающих чисел больше. Тогда должно быть число, которое получено из не менее 4-х различных чисел. Тогда среди этих 4-х различных чисел будут два, которые домнажаются на одно и тоже число. Но при умножении различных чисел на одно и тоже число, нельзя получить одно число. Пришли к противоречию.
То есть получили из 99 чисел 33 числа и из 100-го числа будет 34-е
Ответ: минимум можно получить 34 различных числа.

Данная задача попадается в заданиях Всероссийской школьной олимпиады за шестой класс. Задание довольно типовое и похожие варианты встречаются часто.
Давайте разберемся, как решать.
Таким образом, ответ получается: 34 - наименьшее количество различных чисел.

Нам надо получить наименьшее количество различных результатов, следовательно, надо получить наибольшее количество совпадающих результатов. Есть 3 множителя: 2, 3, 5, следовательно, будем их использовать + множитель к1 (к1, к2, к3, к4 ... ). (2*3*к1)*5=(3*5*к1)*�2=(2*5*к1)*3 дальше: (2*3*к2)*5=(3*5*к2)*�2=(2*5*к2)*3 и т. д. Числа разбиваются на 3: 100:3=33 (ост. 1), значит, 33+1=34.
Ответ: 34

Была аналогичная задача, только со 110 числами. Тут же ответ приблизительно таким таким же.
Поскольку:
100 / 3 = 33 + 1,
то посл умножения 99 чисел разделятся на 33 разных тройки чисел, внутри каждой тройки все три числа будут одинаковы вида 2*3*5*k (k - разные для каждой тройки).
А вот сотое число, единственное, может не совпадать ни с одним из 99 чисел. 

Подобного рода задания очень часто встречаются на олимпиадах для учеников 6 класса. Олимпиада предназначена для учеников, обладающих высокими знаниями и хорошей логикой, поэтому задания могут быть достаточно сложными. Не могу сказать, что конкретное задание относится к разряду очень сложных, но подумать здесь придется.
Решить можно следующим образом:

Некоторые числа умножил на 2, следовательно, в итоге х*2. Некоторые на 3,следовательно, в итоге у*3. А остальные - на 5, следовательно, в итоге с*5 и для того, чтобы было мах. повторов х*2=у*3=с*5, следовательно 3 числа переходят в min. в 1 результат: 100:3=33 (ост. 1). Значит 33+1=34 результата минимум.
Ответ: 34 результата.

Задача стоит сказать, что не из легких, для того, чтобы ответить, решить её правильно, необходимо серьезно подумать.
Подробное описание хода рассуждения и решения можно изучить ниже.
Все описанное выше можно свести к формуле
100 делим 3 равно 33 прибавляем 1.
Получаем число равное тридцати четырём (34).

Конечно, если понимать так, как я по началу не понял (я понимал это так, как поиск чисел, не совпадающих ни с чем другим), то тогда тридцать три тройки дадут по одному числу и ещё одно число само по себе. Итого 34 числа.

Мой ученик рассуждал так. Пусть написаны первые 100 натуральных чисел. Поэтому при умножении 1 на 5, 2 на 3, 3 на 2 получим одинаковые числа 5 и 5, 6, 6, 6 (6 не умножаем). Далее то же самое с 4,7,8. При умножении 4 на 2 получим 8 (7 и 8 не умножаем). В итоге он получил 34 одинаковых чисел. Думаю, что и такое решение зачтется.
На самом деле из каждой тройки различных чисел можно получить три одинаковых числа умножением на 2, 3 и 5 (или не умножая некоторые). Получим 100/3=33 (1 в остатке). Всего 33+1=34 числа.

Интересная задача для олимпиады, которая проводится в 6 классе. Надо признать, что и мне пришлось немного поднапрячь голову.  Высчитывать ответ следует по формуле 100 / 3 = 33 + 1. Подсчитав, получаем число 34. Ответ к этой задаче таков — 34 результатов.

Данная задача задается часто, на олимпиадах для 6 класса. Ответ на нее должен вычисляться по такой формуле как 100 / 3 = 33 + 1. Произведя расчет мы должны в итоге получить число 34. Число 34 и будет в итоге верным ответом на эту задачу.