Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=16, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 122° и 103°.

Один вариант решения этой задачи уже предложен очень уважаемым мною автором и он даже успел получить ЛО. Поэтому я долго думал, стоит ли вмешиваться? Или лучше пропустить эту тему? Но не удержался. Ведь на самом деле у задачи имеется несколько разных способов решения. Лично мне видится, как минимум, два других и не терпится показать хотя бы один из них. Мне он показался интересным на столько, что просто грех не поделиться с другими. Его изюминка в работе с дугами окружности. И, естественно, первым делом хотелось бы показать вам кое-что из моих залежей шпаргалок:
Чтобы было понятно - на дуги опираются углы. На одну и ту же дугу может опираться, как центральный, так и вписанный угол. При этом вписанный угол будет вдвое меньше, чем центральный, опирающийся на ту же дугу. Ко всему прочему сумма всех дуг окружности равна 360°. Мы в поставленной задаче можем обратить внимание на три разные дуги:
Очевидно, что их сумма должна составить те самые 360°, если вычесть дугу AD (180°), по которой мы прошлись дважды. Вы спросите, почему дуга AD = 180°? Но ведь, если от точки M все вершины четырёхугольника будут равноудалены, она непременно будет считаться центром описанной окружности и окажется в середине диаметра. Отрезок AD и есть диаметр описанной окружности. Но вернёмся к нашим дугам:
Дуга BC - на неё опирается пока неизвестный нам центральный угол ∠BMC;Дуга AC - если вписанный угол ∠ABC=122°, дуга AC = 2*122° = 244°;Дуга AC - если вписанный угол ∠BCD=103°, дуга AC = 2*103° = 206°.И тогда:
BC = 360° - 244° - 206° + 180° = 90°.Очень любопытный промежуточный результат - мы получили равнобедренный и одновременно прямоугольный треугольник. Если так, то его можно считать половинкой квадрата, для которого нам известна диагональ (BC=16). А ведь для вычисления длины диагонали мы привыкли пользоваться формулой:
BC = A √2, где A - сторона квадрата.В таком случае эта самая сторона, являющаяся по совместительству радиусом нашей окружности будет равна:
R = BC / √2 = 16 / √2 и при этом диаметр:D = AD = 2 * 16 / √2 = 32 / √2Хотите сказать, что ответ несколько отличается о данного другим автором? Не переживайте! Калькулятор наверняка убедит вас в том, что в итоге получится одно и то же значение:
Таким образом правильный ответ может выглядеть следующим образом - выбирайте любой:
AD = 32 / √2AD = 16 * √2AD = 22,627416998                                                                              

Так как есть точка М, которая равноудалена от всех вершин четырёхугольника, значит, вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность. Покажем это на рисунке:
Противоположные углы четырёхугольника, вписанного в окружность, в сумме имеют 180°, поэтому:
∠ВАD+∠ВСD=180°, а ∠ВСD=103° (по условию).
Отсюда: ∠ВАD=180-103=77°
Так как АМ=ВМ как радиусы окружностей, то треугольник АМВ - равнобедренный, значит, ∠АВМ=∠ВАМ=77°. Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, то ∠АМВ=180-77-77=26°
∠АВС=122° по условию, значит, ∠МВС=122-77=45°
Треугольник ВМС тоже равнобедренный, так как ВМ=СМ (как радиусы окружности). Значит, ∠МВС=∠ВСМ=45°, а ∠ВМС=180-45-45=90°, то есть треугольник ВМС - прямоугольный, а сторона ВС в нём - гипотенуза. Найдём катет ВМ по теореме Пифагора:
ВМ²+МС²=ВС²
Так как ВМ=МС, то
2ВМ²=ВС²
2ВМ²=16²
2ВМ²=256
ВМ²=128
ВМ=8√2
АМ=МD=ВМ=8√2
AD=АМ+МD=8√2+8√2=16√�2
Ответ: 16√2.