Было бы любопытно разузнать. Докажите, что 3^(n)-2n^(2)-1 кратно 8

Для того чтобы доказать, что выражение 3^n - 2n^2 - 1 кратно 8, нужно показать, что оно делится на 8 без остатка для всех целых значений n. Давайте рассмотрим это более подробно.

1. При n = 0:
3^0 - 2*0^2 - 1 = 1 - 0 - 1 = 0. Видно, что выражение равно 0 и делится на 8 без остатка.

2. Предположим, что для некоторого целого числа k выражение 3^k - 2k^2 - 1 делится на 8 без остатка.

3. Рассмотрим выражение для n = k + 1:
3^k+1 - 2(k+1)^2 - 1 = 3*3^k - 2(k^2 + 2k + 1) - 1 = 3*3^k - 2k^2 - 4k - 2 - 1.

Посмотрим на это выражение по модулю 8:
3*3^k - 2k^2 - 4k - 3 ≡ (3*3^k - (2k^2 - (4k - (3 .

Для того чтобы доказать, что 3^k+1 - 2(k+1)^2 - 1 делится на 8, нужно показать, что каждое из слагаемых в скобках делится на 8 без остатка.

4. Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:
a. 3*3^k = 3^k+1. Посмотрим на остатки от деления 3^k+1 на 8 при различных значениях k:
k=0: 3^0+1 = 3 ≡ 3 8,
k=1: 3^1+1 = 9 ≡ 1 8,
k=2: 3^2+1 = 27 ≡ 3 8,
k=3: 3^3+1 = 81 ≡ 1 8.

Мы видим, что 3^k+1 имеет периодическую последовательность остатков при делении на 8: 3, 1, 3, 1. Таким образом, 3^k+1 делится на 8 при k=0,2, а значит, 3*3^k также делится на 8 при этих значениях k.

b. 2k^2. Очевидно, что 2k^2 делится на 8 для всех целых k.

c. 4k. Также очевидно, что 4k делится на 8 для всех целых k.

d. 3. Остаток от деления числа 3 на 8 равен 3.

5. Из пунктов (4a), (4b), (4c), (4d) следует, что каждое слагаемое в скобках делится на 8 для k=0 и k=2. Таким образом, выражение 3^k+1 - 2(k+1)^2 - 1 делится на 8 при k=0 и k=2.

6. Исходя из пункта (5) и индуктивного предположения в пункте (2), мы можем заключить, что выражение 3^n - 2n^2 - 1 кратно 8 для всех целых n.

Таким образом, мы доказали, что выражение 3^n - 2n^2 - 1 кратно 8 для всех целых n.