В треугольнике медиана, высота и биссектриса, выходящие из одного угла, делят этот угол на 4 равные части.
Требуется узнать углы этого треугольника. Стороны-то могут быть любыми.
Вторая задача, которая следует из первой.
Как найти треугольник, у которого медиана совпадает с биссектрисой, но НЕ совпадает с высотой?

Как это часто бывает, мне опять не повезло.  Я был в двухсуточном "бане", когда появилась эта задача. Я её решил, но из-за "бана" не мог предоставить своё решение. И вот, за 6 часов до окончания моей "отсидки" своё решение предоставил Vasil Stryzhak. Но всё же, я думаю будет справедливо, если я тоже приведу свой вариант решения, хотя он по сути совпадает с решением Vasil Stryzhak .
Прежде всего, насчёт фразы автора задачи "Извините, забыл добавить. Все три отрезка находятся строго ВНУТРИ треугольника", он совершенно лишняя, так как того факта, что "в треугольнике медиана, высота и биссектриса, выходящие из одного угла, делят этот угол на 4 равные части" вполне достаточно. Если бы высота совпадала с одной из сторон треугольника, или, тем более, находилась за его пределами, то она не могла бы принимать участие в делении угла.
Теперь само решение.
Рассмотрим равнобедренный треугольник САЕ с основанием СЕ и подлежащим делению неравным другим, углом САЕ (А).  Проведём в нём высоту АН, она же является и биссектрисой (назовём её АВ) и медианой (назовём её АМ). Теперь "оттянем" вершину Е правее. Тогда  линии АН, АВ и АМ разойдутся. Теперь угол САЕ разбит на 4 равных угла (слева направо: САН, НАВ, ВАМ МАЕ). Обозначим длину высоты АН буквой h, а каждый из углов  САН, НАВ, ВАМ МАЕ обозначим х.
Рассматривая получившиеся прямоугольные треугольники, выразим длины соответствующих катетов через h и х. СН=h*tg(x),  НВ=h*tg(x),  НМ=h*tg(2x),  НЕ=h*tg(3x).
Поскольку АМ медиана, то СМ=МЕ.
СМ=СН+НМ=h*tg(x)+ h*tg(2x)=h*( tg(x)+ tg(2x)).
МЕ= НЕ-НМ= h*tg(3x)- h*tg(2x)=h*( tg(3x)-tg(2x)).
Итак, h*( tg(x)+ tg(2x))= h*( tg(3x)-tg(2x)).
Или tg(3x)-tg(x)= 2*tg(2x).
Далее: tg(2x)= tg(3x-х)= (tg(3x)-tg(х))/(1+tg(3x)*tg(х)).
tg(3x)-tg(x)= 2*(tg(3x)-tg(х))/(1+tg(3x)*tg(х)).
Сокращаем на (tg(3x)-tg(x)), остаётся: 1=2/(1+tg(3x)*tg(х)).
Далее: 1+tg(3x)*tg(х)=2, далее tg(x)*tg(3х)=1.
Подставляем вместо tg(3x) его выражение через tg(x), получаем:
tg(x)*(3tg(x)-tg^3(x))/(1-3tg^2(x))=1.
После очевидных преобразований получаем биквадратное относительно tg(x) уравнение:
tg^4(x)-6*tg^2(x)+1=0. Оно имеет 4 решения. Отрицательные очевидно не подходят. Остаётся два решения: tg(x)=√(3-√8) и tg(x)=√(3+√8). Значит наш искомый угол равен либо arctg(√(3-√8)), либо arctg(√(3+√8)).  arctg(√(3-√8))= 0,3927 радиан или 22,5°. arctg(√(3+√8))= 1,178097 радиан или 67,5°. Очевидно, что последнее значение не подходит. Итак угол (х) равен 22,5° или Пи/8 радиан.
Итак наш треугольник прямоугольный, с острыми углами 22,5° и 67,5° .
Построить конкретно этот треугольник несложно. Все знают, что вписанныы в окружность прямой угол опирается на диаметр. Чертим окружность. Проводим в ней диаметр.  Поскольку один острый угол в 3 раза больше другого, то и дуги, на которые они опираются, должны быть одна в три раза больше другой. Как делить дугу пополам (а потом ещё пополам) наверное всем известно, и не требует пояснений. 
В самом начале вопрос сформулирован так: "Как построить треугольник по медиане, высоте и биссектрисе?" В общем случае (при произвольных значениях медианы, высоты и биссектрисы) задача не имеет решения.
А вторая задача "Как найти треугольник, у которого медиана совпадает с биссектрисой, но НЕ совпадает с высотой?" вообще не имеет решения.  Медиана делит сторону, к которой она проведена, на равные отрезки. Если эта же линия, является и биссектрисой, то по свойству биссектрисы, стороны треугольника, между которыми проведена биссектриса, должны быть равны, т.е. треугольник должен быть равнобедренным. Значит медиана (биссектриса) обязана быть и высотой.
                                                                              

Пусть треугольник АВС соответствует условию задачи, где BD – высота,  BE – биссектриса, BF – медиана. Тогда АF = FC, откуда
AD + 2*DF = DC (1).
Примем высоту треугольника равной единичному отрезку BD = 1. В результате имеем
AD = tg α; DF = tg 2α;  DC =tg 3α.
Согласно тригонометрическим функциям двойных и тройных углов
 Подставляя значения в (1) получаем уравнение
После преобразования приходим к уравнению четвертой степени
tg² α* tg² α - 6tg² α – 1 = 0.
Обозначая tg² α = t, имеем следующее квадратное уравнение относительно неизвестной t
t² - 6t -1 = 0;
корнями уравнения будут числа
t₁ = 3 - 2√2 и t₂ = 3 + 2√2.
Тогда tg α = √(3 - 2√2) – единственный подходящий к задаче корень.
Отсюда α = 22,5 градуса, а угол АВС = 90⁰.
Строим треугольник АВС следующим методом. Проводим две взаимно перпендикулярные прямые ВА и ВС. Из точки пересечения опишем дугу произвольным радиусом до пересечения с прямыми, которую в свою очередь разделим на четыре равные части. Через точки деления  дуги проводим лучи BD,  BE, BF. Пусть АВ заданная длинна катета (по условию стороны-то могут быть любыми). Из точки А опускаем перпендикуляр на луч BD и получаем искомый треугольник АВС

Решения к задаче представлены авторами Vasil Stryzhak  и Rafail. Это очень хорошо, поскольку я не знал как эта задача решается. Вообще, математика интересная наука, но местами, ну очень уж скучная. Не всегда можно представить, что ждет тебя при расчете и стоит ли вообще этим заниматься. По этой причине я создал маленькую игрушку. Ее нельзя рассматривать как решение данной задачи. Она не предназначена для решений сложных задач, это всего лишь макет треугольника с высотой, биссектрисой и медианой.
Вершины треугольника "А" и "С" можно перемещать, зажав левой клавишей мыши или изменив параметры в папке "Вершины треугольника". Таким образом можно создать любой треугольник и посмотреть как он будет выглядеть воочию.
Впрочем, в папке "Расчетные величины" можно найти все линейные размеры и углы, созданного Вами треугольника, а также площадь, периметр и координаты центра тяжести. Для того, чтобы угол при вершине "А" был 90 градусов, она должна находиться на пунктирной окружности.
Сейчас параметры на картинке примерно соответствуют условию задачи.
Треугольник по второй части задания, не существует. Ну разве что, если высота точки "А" стремиться к нулю за пределами основания, да и то условно.
Ссылка на игрушку для взрослых.

Предлагаю решение начать со второй части вопроса. Проводим горизонтальную и вертикальную линии, которые пересекутся в точке D. От точки D откладываем на вертикали произвольный отрезок, высоту ВD, а на горизонтали такой же отрезок DF1 (пока не доказано что это точка F). Прямоугольный треугольник ВD равнобедренный, поэтому его острые углы равны 45 градусам и следовательно искомые углы  α равны 22,5 градусов, а точка F1 есть точка F. Проводим из точки В дугу окружности, откладываем на ней три угла по 22,5 градуса и через эти точки на дуге проводим биссектрису ВЕ, стороны искомого треугольника ВА, ВС и медиану.

тут нарисовал схемку на первую часть задачи. А пока смотрите что имеем. BD (зеленая) высота, BE (красная) биссектриса, BF (синяя) медиана. маленькие буквы это углы часть зависимостей между которыми известна. Попробуем составить систему уравнений. Помним что сумма углов в треугольнике 180 градусов.
Из условий задачи
b=4g (углы равные друг другу)
b=180-a-c (справедливо для любого треугольника в т.ч. для АВС)
c=180-90-3g (треугольник BDC прямоугольный так как BD высота)
g=180-90-a (треугольник ABD прямоугольный так как BD высота))
++++++++++
4g=180-a-c
c=90-3g
a=90-g
+++++++++
4g=180-90+g-90+3g
+++
4g=4g
Получается чушь, или я разучился решать (и составлять) системы уравнений. Каким-то образом уравнения получились линейно-зависимые хотя я рассматривал вроде отдельные геометрические объекты. Может натолкнет на какую нибудь мысль. А пока матан забыт получатся система либо не имеет решения либо имеет множество решений