Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.
а) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.
б) Найдите расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит ее на отрезки, равные 2 и 8.

Вопрос А:
1.рассмотрим треугольники ∆FNO₁ и ∆FАО₁
NО₁ = АО₁ = r (где r - радиус вписанной окружности)
FN = FА (по свойству равенства длин касательных, проведенных из одной точки к одной и той же окружности)
сторона FО₁ - общая для данных треугольников
значит треугольники ∆FNO₁ и ∆FАО₁ - равны, следовательно:
∠NFO₁ = ∠AFO₁
при этом также ∠NFO₁ = ∠FО₁Х (т.к NF параллельна О₁Х)
т.е: ∠AFO₁ = ∠FО₁Х
следовательно: О₁Х = FХ
аналогично доказывается, что: О₂Х = ЕХ
отсюда получаем:
О₁О₂ = FХ + ЕХ = FЕ
Вопрос Б:
по условию Задачи:
FА = 2; АЕ = 8
выше было доказано, что:
О₁Х = 1/2*О₁О₂ = 1/2*FЕ = 1/2*(2+8) = 5
при этом:
АХ = (FЕ - 2*FА)/2 = 3
в треугольнике ∆АХО₁ по теореме Пифагора, получаем:
r² = О₁Х² - AX² = 5² - 3² = 16
r = 4
в треугольнике ∆DYO₂ по теореме Пифагора, получаем:
О₂D² = DY² + YО₂² = r² + (r + О₁О₂)² = 4² + 14² = √212 = 2√53