На всех гранях куба написаны натуральные числа (см. рисунок). Известно, что произведения чисел, написанных на противоположных гранях, одинаковы. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех шести чисел написанных на гранях?
А) 36
Б) 37
В) 41
Г) 44
Д) 60

Для начала нужно решить первое условие задачи, то есть найти числа на оставшихся трех гранях.
Значит нам нужно подобрать такое число, которое будет делится без остатка (так как по условию задачи у нас только натуральные числа) на все числа, что нам даны: 5, 10 и 15. Самое наименьшее такое число 30. Оно делится:
30÷15=2;
30÷10=3;
30÷5=6.
Таким образом мы получили цифры на противоположных гранях. Напротив 15 - 2, напротив 10 - 3 и напротив 5 - 6.
Теперь необходимо решить второе условие задачи и сложить все числа.
15+2+10+3+5+6=41.
Таким образом правильный ответ под буквой В) 41.
                                                                              

Так, граней у нас всего шесть, поэтому, обозначив невидимые для нас на рисунке грани как х, у и z, мы можем написать следующее равенство, исходя из задачи:
15х = 10у = 5z. При этом сумма этих х, у, z должна быть минимальна, что предполагает, что эти х, у, z могут быть разными, но нам нужно выбрать из них минимальные. Я буду просто подставлять числа, начиная с меньшего - с единицы. Если единица противостоит 15 (а она может противостоять только 15), то их произведение равно 15, но тогда не может быть таким произведение 10 и противостоящего ему числа.
Если 15 противостоит двойка, вот тогда все сходится и получаются числа 2, 3, 6. Сумма их равна 41 (2 + 3 + 6 + 5 + 10 + 15), все остальные варианты дают бОльшую сумму.
Ответ: 41 (вариант В).

Пусть неизвестные числа на противоположных гранях обозначаются буквами х, у, z.
По условиям задачи, произведение чисел на противоположных гранях одинаково.
15*х=10*у=z*5
Наименьшим числом, которое будет кратно 5, 10 и 15 является 30.
Следовательно 15*х=10*у=z*5=30
Сокращаем на 5 и получаем 3*х=2*у=z=6
z=6, у=3, х=2.
Это минимальные значения неизвестных чисел, при которых будет выполняться условие задачи.
Находим нужную нам сумму,имеющую наименьшее значение: 5+10+15+2+3+6=41
Ответ: В) 41

Думается, что сначала нужно определить какое наименьшее одинаковое произведение будет на противоположных гранях. Правильный ответ получается 30. Это наименьшее кратное чисел 5, 10 и 15. Далее рассуждаем, что 5*6=30, 10*3= 30, 15*2=30. В итоге получаем 5+6+10+3+15+2= 41. Выбираем правильный ответ В)41

Пусть,как отметила автор вопроса Людмила 1979,неизвестные нам числа х,у,z.Тогда, да:
15х=10у=5z или после сокращения на 5 будет 3х=2у=z.
Решая уравнение в натуральных числах получаем минимальные значения х=2,у=3,z=6 и сумма будет 41.Проверка: 15+10+5+6+3+2=41