Если разделить двузначное число на сумму его цифр, то получится частное 6 и остаток 3. Если же разделить это число на сумму его цифр, увеличенную на 2, то получится частное 5 и остаток 5. Найдите это двузначное число.

Пусть двухзначное число 10а+в.
Сумма цифр (а+в)
Имеем:
10а+в=6(а+в)+3 или:
4а-5в-3=0 (1)
И еще имеем :
10а+в=5(а+в+2)+5 или:
5а-4в-15=0 (2)
Умножим (1) на 5,а (2) на 4.
Получим:
20а-25в-15=0
20а-16в-60=0,отсюда:
45-9в=0,отсюда в=5 и а=7
Ответ:наше число 75.
75:(7+5)=75:12=6+ост 3
75:(7+5+2)=75:14=5+о�ст 5.
                                                                              

Двузначное число можно представить в виде: 10Х + У, где Х число десятков, а У - число единиц.
Далее, по условию задачи можно составить два равенства, к примеру, таких
( 10Х + У - 3 )/( Х + У ) = 6
и
( 10Х + У - 5 )/( Х + У + 2 ) = 5
Осталось решить эту систему уравнений
( 10Х + У - 3 ) = 6( Х + У )
( 10Х + У - 5 ) = 5( Х + У + 2 )
10Х + У - 3 = 6Х + 6У
10Х + У - 5 = 5Х + 5У + 10
10Х + У = 6Х + 6У + 3
10Х + У = 5Х + 5У + 15 ( далее в первом равенстве сгруппировал слева Х-ы, а справа У-ки, а в другом уравнял правые части обоих равенств )
10Х - 6Х = 6У - У + 3
( 6Х + 6У + 3 ) - ( 5Х + 5У + 15 ) = 0
4Х = 5У + 3
Х + У = 12
Х = 12 - У
4( 12 - У ) = 5У + 3
Х = 12 - У
48 - 4У = 5У + 3
Х = 12 - У
5У + 4У = 48 - 3
9У = 45
Х = 12 - У
У = 45/9 = 5
Х = 12 - 5 = 7
Ответ: двузначное число равно 75.
В решении Евгения трохова можно было поступить ещё и так
4а-5в-3=0 (1)
5а-4в-15=0 (2) для начала сложим эти равенства
9а-9в-18=0 ( в принципе, уже отсюда можно выразить значение (а-в) и подставить его в одно из начальных выражений )
а-в=2
4(а-в)-в-3=0
а=в+2
4*2-в-3=0
а=в+2
в=8-3=5
в=5
а=в+2=5+2=7

Десятки обозначу как "д", а единицы как "е". Составлю уравнения:
1) 10д + е = 6(д + е) + 3.
2) 10д + е = 5(д + е + 2) + 5. Вычту из 2-го уравнения первое:
2) 10д + е = 5(д + е + 2) + 5.
(-)
1) 10д + е = 6(д + е) + 3.
(=)
0 = 5(д + е + 2) + 5 - (6(д + е) + 3). Раскрою скобки:
5д + 5е + 10 + 5 - 6д - 6е - 3 = 0.
(-д) - е + 12 = 0.
д + е - 12 = 0.
д = (12 - е). Подставлю "д" в первое уравнение.
1) 10д + е = 6(д + е) + 3.
10(12 - е) + е = 6((12 - е) + е) + 3.
120 - 10е + е = 6(12) + 3.
120 - 9е = 75.
120 - 75 = 9е.
45 = 9е.
е = 5.
д = 12 - е.
д = 12 - 5 = 7.
Всё число равно 75.
Проверка.
Если число 75 разделить на сумму его цифр, то получится 6 и остаток 3:
75/(7 + 5) = 75/12 = 6 и остаток 3.
Если разделить 75 на 12 + 2 = 14, то получится 5 и остаток 5:
75/14 = 5 и остаток 5.
Сходится.
Проверки завершились успешно!
Мой ответ: это двузначное число равно 75.