Как известно, матрицы можно умножать. Я, кстати, неплохо освоил умножение матриц. А можно ли одну матрицу разделить на другую? Понятно, что или можно, или нельзя, tertium non datur.
Если да, можно — то как это делается? Не могли бы Вы привести конкретный пример для наглядности?
Если нет, нельзя, невозможно — OK, отлично, но всё же не могли бы Вы в этом случае объяснить почему? Я по жизни почемучка и мне интересна причина.

Вот тут как раз, однозначного ответа нет.
Давайте поверхностно коснёмся теории множеств.
Все дело в том, что в аксиоматике определяются две операции: сложение и умножение. Операции вычитания и деления являются вспомогательными операциями. Они определяются через сложение или умножение.
Если множество является группой по умножению, то тогда проще. Поскольку должен существовать нейтральный элемент и обратный элемент.
Если брать умножение. То должна существовать - единичная матрица "E"(нейтральный элемент по умножению) и обратная матрица  "A⁻¹": A•A⁻¹ = E
Тогда деление можно определить, как умножение на обратную матрицу.
Но проблема в том, что Единичная матрица существует только у квадратных матриц. Но при этом обратная матрица не обязательно существует.
Для матриц у которых ∆=0 (определитель = 0) не существует обратной матрицы.
То есть в квадратных матрицах: B:A = B•A⁻¹, но при этом умножение должно быть определено, должна существовать обратная матрица A⁻¹. Для этого определитель |A| ≠ 0
В общем виде A⁻¹ = (1/|A|)• Aᵀₒ, где  Aᵀₒ - транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Для матриц 2х2 не сложно искать обратную. Например:
(-1 1)
(3 -2)
∆ = -1•(-2) - 1•3 = -1
Aᵀₒ = (элементы на главной диагонали меняем местами, а на вспомогательной меняем знак) =
(-2 -1)
(-3 -1)
Умножаем на -1 и получим
(2 1)
(3 1)
Можно перемножить обе матрицы и проверить что произведение = E
(1 0)
(0 1)
Для более высоких размерностей. Соответсвенно усложняется подсчет определителя и определение транспонированных дополнений.
А вот с неквадратными матрицами всё еще сложней. Там нет нейтрального элемента и обратного элемента.
Но если определено умножение A•B = C, тогда можно и говорить о С:A = B, такого, что A•B = C. Но учитывая, что A•B ≠ B•A (коммутативность) в этом случае точно не выполняется (она может быть только в квадратных матрицах), то однозначного решения нет.
По сути деления как такового в общем случае в матрицах нет. Но можно производить операцию над квадратными матрицами у которой определитель "матрицы-делителя" не равен 0
В принципе, если определено умножение 
                                                                              

Ну формально деление матриц А/В представляется как умножение как АхВ^-1, где В^-1- это обратная матрица В..
Обратная матрица - это матрица, умножение которой на прямую матрицу будет равно единичной матрице..
Т.е. ВхВ^-1=Е,
где Е - единичная матрица, в которой по главной диагонали - единицы, а все остальные элементы равны 0..
Кстати, если автор вопроса думает, что знает умножение матриц, то кроме обычного умножения матриц по принципу сумма умножений строка одной на столбец другой есть и другие умножения матриц - это умножения матриц по Кронекеру и по Адамару..
При этом, как известно обычное умножение матриц не коммутативно, т.е. АхВ!=ВхА, при этом блочное умножение матриц по Кронекеру также не коммутативно, а вот умножение Адамара коммутативно..