Фермер выращивает за сезон x тысяч килограммов груш, затрачивая S = 0,5*х^2 + 25*x тысяч рублей. Продаёт он груши по R рублей за килограмм. При каком наименьшем значении S наибольшая прибыль от продажи составит не менее 450 тыс. рублей?

               Думаю, что всем известно, что прибыль при продаже любого товара вычисляется как разность между стоимостью продажи этого товара и затратами на его производства.
Для нашей задачи имеем следующее:
Стоимость продажи всех груш = x * 1000 * R рублей.
Затраты на производство этих фруктов = 0,5*х² + 25*x.
Поскольку затраты и прибыль в задаче написаны в тысячах рублей, то и стоимость переведём в них же:
(x * 1000 * R) / 1000 = x * R (тыс. рублей)
Составим неравенство, опираясь на первый пункт моего решения:
x*R - (0,5*х² + 25*x) ≥ 450
Далее раскроем скобки, приведём подобные слагаемы и перенесём всё в левую часть неравенства:
x*R - 0,5*х² - 25*x - 450 ≥ 0
-0,5*х² - 25*x + R*х - 450 ≥ 0 |(-1))
0,5*х² + 25*x - R*х + 450 ≤ 0
0,5*х² + (25 - R)*x + 450 ≤ 0 (*)
Имеем квадратный трёхчлен с положительным коэффициентом a = 0,5, следовательно, ветви параболы направлены вверх, и ≤ 0 может быть только при пересечении оси Ox, то бишь корни у обязаны существовать уравнения, а значит D ≥ 0.
D = (25 - R)² - 4 * 0,5 * 450 ≥ 0
Упростив выражение, получаем:
(25 - R)² - 900 ≥ 0
Решаем новое неравенство:
(25 - R)² - 30² ≥ 0
(25 - R - 30) * (25 - R + 30) ≥ 0
Корни будут следующими:
R1 = -5
R2 = 55
По методу интервалов получаем следующие промежутки R:
R ∈ (-∞;-5]U[55;+∞)
На первый интервал мы не смотрим, поскольку цена груш не может быть отрицательной, а из второго выбираем минимальное значение R, так как именно такая минимальная цена за килограмм должна быть, дабы удовлетворять условию.
Выходит, что R = 55.
Если цена минимально возможная, то и затраты на производство должны быть минимальными, чтобы получить наибольшую прибыль.
Подставляем найденное R в неравенство *:
0,5*х² + (25 - 55)*x + 450 ≤ 0
Решаем его:
0,5*х² - 30*x + 450 ≤ 0 |(*2)
х² - 60*x + 900 ≤ 0
(x - 30)² ≤ 0
Единственное решение неравенства:
х = 30
Это есть минимальное количество тысяч килограммов груш, необходимо для получения наибольшей прибыли при минимальной цене продажи за килограмм.
Подставляем это значение в формулу для нахождения S и записываем ответ:
S = 0,5 * 30² + 25 * 30 = 0,5 * 900 + 750 = 450 + 750 = 1200.
Ответ: наибольшая прибыль от продажи составит не менее 450 тыс. рублей при наименьшем значении S = 1200 тысяч рублей.