Функция факториал есть последовательное умножение n-ого количества чисел, а есть функция обозначающая последовательное сложение чисел?

Факториал - не функция, а условное обозначение умножения последовательности натуральных чисел, заданных по определённому закону.
Функция - это единая зависимость значения (y) от конкретного непрерывного аргумента (x) заданная неким законом (f). То есть y=f(x). Тогда, если взять, ваше утверждение, что факториал - функция, то как вы найдёте такое, например, выражение y=(3.5)!.
Ответ - никак. Поскольку 3,5 - не натуральное число.
Можно, конечно, рассматривать функцию, зависящую от факториала, но тогда ее надо записать,например, так  -  y = f(x), где f(x) = (

• )!, при x>0.
  Вы, скорее всего, путаете понятия функции и числовых рядов.
  А для числовых рядов:
  умножение элементов числового ряда записывается греческой буквой П;
  сложение элементов числового ряда записывается греческой буквой Σ.
  Как-то так.
                                                                                

Нет, не существует никакого специального обозначения для суммы чисел от 1 до n (аналогично факториалу - умножению).
Зато эту сумму легко посчитать, зная n.
S=n*(n+1)/2
Для факториала никакой формулы нет.
Чтобы найти n!, нужно на самом деле перемножить все числа от 1 до n.