Как решить Чему равен угол α если tg α=4/(3+10Cosα)?.

Есть интересное равенство
1/cos^2 a = 1 + tg^2 a
По условию tg a = 4/(3 + 10cos a)
1/cos^2 a = 1 + 16/(3 + 10cos a)^2 = (9 + 60cos a + 100cos^2 a + 16)/(9 + 60cos a + 100cos^2 a)
Замена cos a = x; по определению косинуса x принадлежит [-1; 1]
9 + 60x + 100x^2 = x^2(100x^2 + 60x + 25)
100x^4 + 60x^3 + 25x^2 - 100x^2 - 60x - 9 = 0
(100x^4 + 60x^3) - (100x^2 + 60x) + (25x^2 - 9) = 0
20x^3*(5x + 3) - 20x*(5x + 3) + (5x + 3)(5x - 3) = 0
(5x + 3)(20x^3 - 20x + 5x - 3) = 0
(5x + 3)(20x^3 - 15x - 3) = 0
x1 = cos a = -3/5 = -0,6
20x^3 - 15x - 3 = 0
Это уравнение имеет три иррациональных корня, и все входят в промежуток [-1; 1], то есть могут быть косинусами.
x2 ~ -0,74; x3 ~ -0,21; x4 ~ +0,95
Найти их можно подбором
f(-1) = -20 + 15 - 3 = -8 < 0
f(-1/2) = -20/8 + 15/2 - 3 = -5/2 + 15/2 - 3 = 2 > 0
f(0) = -3 < 0
f(1) = 20 - 15 - 3 = 2 > 0
Получаем:
-1 < x2 < -1/2
-1/2 < x3 < 0
0 < x4 < 1
Уточняем:
f(-0,75) = f(-3/4) = -20*27/64 + 15*3/4 - 3 = -5*27/16 + 45/4 - 3 = -135/16 + 180/16 - 48/16 = -3/16 = -0,1875 < 0
f(-0,7) = -20*0,343 + 15*0,7 - 3 = -6,86 + 10,5 - 3 = 0,64 > 0
f(-0,25) = f(-1/4) = -20/64 + 15/4 - 3 = -5/16 + 60/16 - 48/16 = 7/16 = 0,4375 > 0
f(-0,2) = -20*0,008 + 15*0,2 - 3 = -0,16 + 3 - 3 = -0,16 < 0
f(0,9) = 20*0,729 - 15*0,9 - 3 = 14,58 - 13,5 - 3 = -1,92 < 0
Более точно получаем:
-0,75 < x2 < 0,7
-0,25 < x3 < -0,2
0,9 < x4 < 1
И все это посчитано в уме, без калькулятора!
Можно и дальше уточнить
f(-0,74) = -20*405224 + 15*0,74 - 3 = -8,10448 + 11,1 - 3 = -0,00448 ~ 0
x2 ~ -0,74
f(-0,21) = -20*0,009261 + 15*0,21 - 3 = -0,18522 + 3,15 - 3 = -0,03522 ~ 0
x3 ~ -0,21
f(0,95) = 20*0,857375 - 15*0,95 - 3 = 17,1475 - 14,25 - 3 = -0,1025 ~ 0
x4 ~ 0,95
Это уже с калькулятором.
Ответ: a1 = pi - arccos(0,6) + 2pi*k; a2 = pi + arccos(0,6) + 2pi*k
a3 = pi - arccos(0,74) + 2pi*k; a4 = pi + arccos(0,74) + 2pi*k
a5 = pi - arccos(0,21) + 2pi*k; a6 = pi + arccos(0,21) + 2pi*k
a7 = -arccos(0,95) + 2pi*k; a8 = arccos(0,95) + 2pi*k