Вася хочет несколько раз выписать в строчку число 12345 так, чтобы получившееся многозначное число делилось на 41. Какое наименьшее число раз ему нужно это сделать?

Полученное число будет равно сумма на всех шагах (12345*100000^k), где и k целое число 0 или положительное.
На первом шаге остаток от деления 12345/41 остаток 4.Чтобы найти остаток от деления на втором шаге, можно просто предыдущий остаток умножить на 100000 и опять разделить на 41. Остаток от деления 400000 на 41 тоже будет 4.
Дальше то же самое, кадый раз остаток будет 4.
Таким образом, нам надо найти минимальное от 4*n, что будет делиться на 41.
Очевидно, что это будет 41.
Т.е. потребудется выписать число 41 раз.
Как решить в общем виде для других чисел, я не сообразил пока
                                                                              модератор  выбрал этот ответ лучшим

Возможно, есть какой-то специальный математический способ рассуждений, но число 41 - простое, поэтому его нельзя разложить на множители, и тут я вижу только способ перебора вариантов. С программами информатики я не дружу. А я просто беру калькулятор и считаю:
12345 / 41 = 301 и 4/41
1234512345 / 41 = 30110057 и 8/41
123451234512345 / 41 = 3011005719813 и 12/41
Далее считаю через остаток.
Мы видим, что при каждом добавлении цифр 12345, остаток прибавляется на 4. При 10 таких написаний остаток 40, далее при 11 - 44/41, то есть остаток 3. Снова прибавляем по 4, при 12 написаниях - остаток 7, 12 - 11, ..., 20 - 39, 21 - 43/41, остаток 2. Опять прибавляем по 4, 22 - остаток 6, 30 - 36/41, 31 - 42/41, остаток 1, 32 - остаток 5, и только при написании 41 раз - получаем 41/41, то есть остаток 0. Таким образом, Васе нужно написать число 12345 в строчку ровно 41 раз.

Для решения этой задачи составим небольшую программу, которая найдет такое число с повторяющейся комбинацией цифр "12345", которое делится на 41 без остатка. Привожу скриншот кода программы.
Как видим комбинация цифр "12345" должна повториться 41 раз.