Как это решить Известно, что x^2+y^2+z^2=3. Как доказать 1/(xy+1)+1/(yz+1)+1/(xz+1)≥3/2?.

Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, получаем:
1/(xy+1)+1/(yz+1)+1/(xz+1) ≥ 3/((xy+1)*(yz+1)*(xz+1))^(1/3)
где а^(1/3) означает "корень кубический из а"
Далее, применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом к знаменателю варажения 3/((xy+1)*(yz+1)*(xz+1))^(1/3), получаем:
3/((xy+1)*(yz+1)*(xz+1))^(1/3) ≥ 9/(xy+1+yz+1+xz+1) = 9/(xy+yz+xz+3)
Теперь воспользуемся неравенством что х²+у²+z² ≥ xy+xz+yz (данное неравенство можно доказать, сложив три неравенства: (x−y)² ≥ 0, (x−z)² ≥ 0, (z−y)² ≥ 0), получаем:
9/(xy+yz+xz+3) ≥ 9/(х²+у²+z²+3)
Вспоминаем, что по условию Задачи: х²+у²+z² = 3, значит:
9/(х²+у²+z²+3) = 9/(3+3) = 3/2
Собственно, что и требовалось доказать