В треугольнике АВС проведены биссектрисы АК и СL и медиана ВМ. Оказалось, что МL – биссектриса угла АМВ, МК – биссектриса угла СМВ. Найдите углы треугольника АВС.

Используем свойство биссектрисы
AL/AC = BL/BC - для треугольника ABC и
AL/AM = BL/BM - для треугольника ABM
AL/BL = AC/BC = AM/BM
Поскольку AM в два раза меньше AC (медиана делит сторону пополам), то и BM в два раза меньше BC.
Аналогичные рассуждения мы можем привести и для биссектрис AK и MK. И тоже увидим, что BM в два раза меньше АВ. Значит АВ = ВС. Треугольник АВС равнобедренный. Медиана ВМ одновременно является и высотой. Треугольник АВМ прямоугольный и в нём гипотенуза АВ в два раза больше катета ВМ. Значит угол ВАС равен 30 градусов. Угол ВСА равен ему, а угол АВС равен 180 - 30 - 30 = 120 градусам.
                                                                              

Такое возможно только в случае равностороннего треугольника ABC. Следовательно все его углы равны 60 градусов.