Мяч имеет в длину 285 мм. Размер в обхвате в максимальном поперечном сечении 580 мм. Суммарная толщина оболочки и камеры 2 мм.

Диаметр мяча в максимальном поперечном сечении равен 580/Пи=184,6 мм. Значит внутренний диаметр  равен 184,6-2*2=180,6 мм. Длина (внутри) равна 285-2*2=281 мм.
Рассмотрим осевое сечение мяча (внутреннего пространства) вдоль большой оси. Оно представляет собой эллипс с большой осью 281 мм, и малой осью 180,6 мм. Соответственно, большая полуось эллипса равна 140,5 мм, малая полуось 90,3 мм.
Мяч (а значит и внутренней пространство) - является телом вращения, полученным вращением половины этого эллипса вокруг большой оси эллипса.
Направим ось Х по большой оси эллипса, а ось Y по малой оси. Тогда уравнение эллипса будет иметь вид: y^2/(90,3)^2+x^2/(140,5)^2=1 или y^2/8154,09+x^2/19740,25=1
Перепишем его так: y^2=8154,09*(1-x^2/19740,25), или
y^2=8154,09*(1-x^2/19740,25)=8154,09-0,413069237x^2.
Объём вычисляется по формуле V=2*Пи*(интеграл от функции y^2dx) а пределах от 0 до 140,5.
Таким образом, V=2*Пи*(8154,09*140,5-0,413069237*140,5^3/3)=4798886,011 мм^3 или 4,8 л.
                                                                              

Задача решена верно Рафаилом, методом расчета объема тел вращения, но все таки хочу представить его решение с возможностью легкой подстановки любых значений. А также попробовать рассчитать объем эллипсоида методом суммирования площади сечений.
Уравнение эллипса выглядит следующим образом:
Где "а" и "в" половины от главных осей эллипса.
В классическом варианте уравнение будет иметь следующий вид:
Объем тела вращения вычисляется по следующей формуле:
Учитывая тот факт, что корень и квадрат сократятся, интеграл примет следующий вид:
Величина "а" будет равна половине длины мяча минус толщина изделия (2 мм).
Величина "в" равна половине диаметра мяча минус толщина изделия.
Окончательно получим:
Интегральчик получился не сложный, попробуем его взять.
Да, именно на такой формуле настаивает Википедия. И ответы совпали.
Ссылка на калькулятор.
Теперь рассчитаем объем методом суммирования площадей сечений.
Любое горизонтальное сечение эллипсоида, параллельное главной оси, будет представлять из себя тоже эллипс. Сложив бесконечно большое количество площадей этих сечений, мы получим объем эллипсоида.
Пусть сечение будет представлять из себя эллипс:
Тогда его площадь вычислится по формуле:
Остается понять как будут изменяться n и m в зависимости от положения секущей плоскости (f).
На рисунке:
Синий цвет - сечение эллипсоида вдоль большой оси
Зеленый цвет - сечение эллипсоида вдоль малой оси
Горизонтальная линия - текущее сечение
Красный цвет - форма сечение
Оранжевый цвет - глубина заполнения объема или положение секущей плоскости
Очевидно, для того чтобы найти n и m нужно решить две системы уравнений
Где l есть положение секущей плоскости в системе координат эллипса. И она равна:
Где f положение секущей плоскости относительно низа эллипсоида.
Значение X и будет n
Аналогично решаем систему:
Получаем:
Остается подставить эти значения в интеграл, заменив l на интегрируемую переменную Y.
 В результате можно не только высчитать полный объем эллипсоида, но и объем частичного заполнения.
Ссылка на калькулятор.