Дан произвольный треугольник площадью S(ABC) = 60 кв.см.
Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E. BD : CD = 1 : 2
Как найти площадь 4-угольника EDCK, обозначенного красным?

На рисунке, предоставленном автором вопроса, треугольник искаженный и не соответствует условию. По этой причине предлагаю свой вариант рисунка.
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части пропорциональные к прилежащим к ней сторонам. Следовательно согласно условия АВ : АС = 1 :2. Тогда АК = АВ, а треугольник АКВ равносторонний и биссектриса АD делит его на равные части. В свою очередь медиана ВК делит треугольник АСВ на два равновеликих треугольника. Откуда площади треугольников АКЕ и АЕВ составляют по 15 кв. см.
Биссектриса треугольника делит так же площадь треугольника пропорционально прилежащим к ней сторонам. Тогда площади треугольников АDВ и АСD относятся друг к другу как 1 : 2.
На основании сказанного составим систему уравнений, обозначив неизвестные площади треугольников за х и у,
{х + у = 15
{15 + х = 2(15 + У).
Решая систему относительно х, получаем - площадь 4-угольника EDCK равна 25 кв. см.
                                                                              

Можно без свойств биссектрисы, а основываясь на двух формулах для площадей треугольника:
S = ah/2 [1]
S = 0,5 ab sin C [2]
Треугольники ACD и ADB имеют равную высоту и основания, отличающиеся, как 2:1
Значит по формуле [1] и их площади имеют то же самое соотношение
А по формуле [2], эти треугольники имют равные углы (САD и DAB), то есть и синусы углов, и общую сторону AD.
То есть расхождение в два раза в площадях означает расхождение в два раза в длинах сторон АС и АВ.  Ну а дальше всё как у Vasil Stryzhak
Хотя там без всяких систем, раз АК=АВ, то и площади АКЕ и АЕВ равны, а раз медиана делит площадь пополам, то половина от половины - четверть. И раз уж АСD площадь составляет две трети, то вычитая из двух третей одну четверть получаем то, что получаем.

Поскольку ВК - медиана, КС=АК=АС/2, то площадь треугольника КСВ равна половине площади треугольника АВС, т.е. 30 см^2. ВD составляет 1/3 от ВС, значит площадь треугольника ЕDС составляет 1/3 от площади треугольника КСВ, т.е. 10 см^2. Ну и на площадь четырёхугольника EDCK остаётся 20 см^2.