Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок.
Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 6 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

Перечислим некоторые варианты:
1)прыгает на (-6)
2) прыгает на (-5),затем возвращается в (-4)
3)прыгает на (-4),затем возвращается в (-2)
4)прыгает на (-3),затем возвращается в 0
5)прыгает на (-2),затем на 2
6)прыгает на (-1),затем на 4
7)прыгает на 1,затем на (-4)
8)прыгает на 2,затем на (-2)
9)прыгает на 3,затем на 0
10)прыгает на 4,затем на 2
11) прыгает на 5,затем на 4
12) прыгает на 6.
В общем получается 7 точек.Это можно обосновать арифметически.
0-6=-6
0-5+1=-4
0-4+1-1=-4
0-4+2=-2
0-3+3=0
0-3+2-1=-2
0-3+1-2=-4
0-2+4=2
0-2+3-1=0
0-2+2-2=-2
0-2+1-3=-4 и тд....
Прыжки  первоначальные вправо расписывать не буду,получится симметрично.
Ответ: 7 точек(-6, -4,  -2,0, 2 ,4, 6
                                                                              

Различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 6 прыжков, начиная прыгать из начала координат может быть 6 точек, если не считать начало координат, где кузнечик был первоначально. Если считать и начало координат то точек в которых кузнечик был и может оказаться может быть 7.