Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.

Задачка совсем не сложная, особенно если нарисовать рисунок, по которому становится сразу всё понятно.
Пусть ABCD - трапеция. BC = a; AD = b - основания трапеции. M и N - середины оснований. Проведя отрезок MN, получим две трапеции: ABMN и NMCD с основаниями BM = MC = a/2 и AN = ND = b/2 у каждой.
Высота у каждой трапеции одна и та же = h
Площадь трапеции равна полусумме оснований умноженных на высоту
S(ABCD) = (a + b)•h/2
S(ABMN) = (a/2 + b/2)•h/2
S(NMCD) = (a/2 + b/2)•h/2
Откуда получаем S(ABMN) = S(NMCD)
Можно было показать, что S(ABMN) = S(ABCD)/2 (половине площади трапеции ABCD), тогда оставшаяся часть тоже половина.