Две окружности вписаны в угол BOF и касаются одной его стороны в точках А и В, а другой в точках E и F.
Общая внутренняя касательная к ним пересекает стороны угла в точках C и D.
Докажите, что AB = EF = CD. (смотрите рисунок)

Доказательство данного утверждения можно провести используя только одну теорему - теорему об отрезках касательной к окружности, проведенных из одной точки. По этой теореме отрезки касательных проведенных из одной точки равны. В данном случае равны следующие отрезки: ОА=ОЕ, ОВ=ОF. Уже из этих равенств можно доказать, что АВ=EF. Действительно, АВ=OB-OA, EF=OF-OE, значит АВ=EF.
Теперь введем дополнительные обозначения. Пусть N и М точки касания общей касательной CD к окружностям. И опять используем теорме об отрезках касательных. Из этой теоремы следуют такие равенства: CF=CN, CE=CM, DA=DM, DN=DB. Далее выражаем отрезок CD как сумму отрезков: CD=CN+ND CD=CM+MD. Меняем отрезки CN, ND, CM, MD на равные им отрезки и получим равенства: CD= CF+ND=CF+DB, CD=CE+MD=CE+AD. Складываем эти равенства почленно и получим: 2*CD=CF+DB+CE+AD=2*A�B. Окончательно  CD=AB. Утверждение доказано.