Пример задачи:
Тело двигалось со скоростью V, в какой-то момент начало двигаться равнозамедленно. При этом так, что бы за время t пройти наименьший путь. Найдите этот путь.
Как это решить через производную?

Скорость - производная от пути. Ускорение - производная от скорости. Угловая скорость - производная от угла поворота.
А вообще вопрос типа "удачные применения таблицы умножения". Где надо, там и применяют.
Производная и интеграл - взаимно обратные операции. Были сложение и вычитание, потом появились умножение и деление, потом возведение в степень и извлечение корня. Дальше на этом пути производная и интеграл (пусть математики не бросаются камнями - для первого знакомства можно считать так) . .