Помогите решить Как исследовать функцию y=(2x+1)(3-x)^-1 и построить ее график?.

Конечно можно исследовать функцию методами математического анализа из курса 11 класса.

Но давайте проведем исследование, которое под силу 8-9 классу.




Запишем функцию в виде дроби y = (2x+1) / (3-x).


Должно возникнуть подозрение, что будет гипербола, но давайте по порядку. Сделаем ряд преобразований.


Отметим сразу, что область определения х ≠ 3


Вычленим в числителе число кратное знаменателю.


y = (2x - 6 + 7) / -(x-3)


y = -(2(x-3) + 7) / (x-3), теперь разделим почленно на знаменатель


y = -2 - 7/(x-3)


Или y = -7 /(x-3) - 2




В итоге получена запись функции такая, которую получается из известной функции путем стандартных преобразований.


Известная функция y = 1/x - функция обратной пропорциональности. Она прекрасно исследована учениками и в учебниках.


То есть


Область определения х ≠ 0


Множество значений y ≠ 0


Нулей функций нет.


Функция убывает на всей области определения


Минимумов и максимумов функции нет


Функция нечётна (симметрична относительно начала координат) f(-x) = -f(x)


Графиком является гипербола с асимптотами х =  0 и y = 0






Стандартные преобразования: Если есть функция y = f(x), то функция y = f(x-a) сдвигом вправо на "a" единиц по оси Ох


Так как a = 3. То сдвиг y = 1/x вправо по оси Ох на 3 единицы.


Асимптота теперь станет при х = 3 и y = 0




Следующее преобразование: у = f(x), то функция kf(x), "растягивает" функцию в k раз вдоль оси Oy и при k<0 (так как нечётная функция) переворачивает симметрично центра, который теперь в точке (3;0)


Так как k = -7, то график растянется в 7 раз и перевернется симметрично относительно (3; 0).


Станет теперь возрастающей функцией




Следующее преобразование: у = f(x), то функция f(x)+ b делает сдвиг по оси Oy на b единиц вверх при b>0 и вниз при b<0


Так как b = -2, то сдвиг будет вниз на 2 единицы по оси Oy. И в итоге асимптота так же станет при y = -2




В результате преобразований, полученная функция y = -7/(x-3) - 2


Имеет область определения х ≠ 3


Множество значений: y ≠ -2


Асимптоты х=3 и y = -2


Нули функции: при х = 0, y = 1/3


При y = 0, x = -1/2


Функция возрастает на всей области определения.


Минимумы и максимумы отсутствуют


Функция симметрична относительно точки (3; - 2)




Строим график согласно преобразованиям: строим 1/х, потом сдвигаем на 3 единицы вправо 1/(х-3), потом отражаем симметрично точки (3;0) и растягиваем в 7 раз (-7/(х-3)). Потом сдвигаем на 2 вниз y = -7/(x-3) - 2