Из центра дворовой хоккейной площадки, имеющей форму квадрата, произвели бросок шайбы. Преодолев расстояние девять метров, она ударилась в борт. Отлетев от него, она ушла в сторону смежного борта. Достигнув последнего, остановилась в одиннадцати метрах от центра площадки.
Следует вычислить площадь игровой коробки.

Возможно эта задача имеет элегантное решение, но мне оно не известно.
Рассмотрим рисунок.
Шайба ударилась о борт на расстоянии 9 метров от центра, затем ударилась о смежный борт (зеленая окружность). В то же время она должна находиться на расстоянии 11 метров от центра (синяя окружность). Очевидно, что эти две точки должны иметь одинаковые координаты. По иксу они равны, остается приравнять их по игреку.
Уравнение зеленой линии.
Уравнение отраженной прямой (красная).
Координаты точки удаленной на 11 метров (пунктир)
Приравняем координаты по игреку.
Не буду утверждать, что я знаю как решать такое уравнение. Воспользуюсь компьютерными возможностями.
Можно даже получить значение и точнее. а=8.48420915547
b=2a=2*8.48420915547�=16.9684183109
Соответственно площадь:
Почти 288 квадратных метров.
Ссылка на макет.
                                                                              

Уже есть лучший ответ, но все же напишу, как я решил эту задачу.
Не умею рисовать в Paint - рисунок получается очень махонький, не знаю как исправить, поэтому объясню просто на словах.
Так как угол удара шайбы о первый бортик равен углу ее отскока (отражения) от этого бортика, то в квадрате, равном 1/4 хоккейной коробки мы получаем равнобедренный треугольник со стороной 9 метров. Основание этого треугольника лежит на отрезке, соединяющем центр площадки с бортиком. Пусть этот отрезок будет А. Он фактически равен половине стороны квадрата, коим является наша хоккейная площадка. Если мы найдем А, то умножим его на 2, получим длину стороны квадрата, а далее легко вычислим площадь всего квадрата.
Если из верхушки этого равнобедренного треугольника провести высоту, то она придется как раз на середину основания треугольника (так как треугольник равнобедренный), то есть разделит основание пополам.
Пусть половина основания треугольника равна Х, тогда все основание будет 2Х. Мы видим, что А фактически состоит из длины основания нашего треугольника и еще небольшого отрезка до борта. Исходя из геометрии движения шайбы (которая не может быть иной при условии равенства углов падения и отражения) мы можем предположить, что этот отрезок равен половине Х, то есть Х/2.
Таким образом, А= 2Х+Х/2.
Решив это уравнение, мы получим, что Х=2А/5.
Наш равносторонний треугольник состоит из двух равных прямоугольных треугольников, у которых один катет общий (это высота треугольника), второй катет равен Х, а гипотенуза равна 9.
По теореме Пифагора выразим Х. Мы получим, что Х в квадрате равен 81 минус А в квадрате (я не знаю, как здесь написать Х в квадрате математически - пробовал набирать в Ворде, но при вставке в данный текст квадраты заменяются на простые двойки, и ни черта не понятно. Ну да ладно!).
У нас Х получился 2А/5. Возводим его в квадрат, получаем 4А в квадрате, деленное на 25.
То есть Х в квадрате равен одновременно 81 минус А в квадрате и 4А в квадрате, деленное на 25.
Приравняем оба выражения. После вычислений находим А. Оно равно 8,3562, и мы округляем до 8,4. Так как длина борта нашей площадки (квадрата) равна 2А, то 2 х 8,4 = 16,8. А площадь квадрата (площадки) равна 16,8 х 16,8 = 282,24 кв. метра.
Вот и ответ.
И все вроде бы ничего, если бы не одно НО!
Ведь в задаче для чего-то даны еще 11 метров! А самое главное - мы лишь ПРЕДПОЛОЖИЛИ, что длина того самого отрезка равна Х/2. Но ведь это не факт, не так ли? Чтобы это стало фактом, нужно это доказать. И вот именно для этого в задаче даны эти 11 метров.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный гипотенузой в 11 метров, катетом, равным расстоянию от центра до второго борта (оно равно А), и маленьким катетом, равным расстоянию от центра второго борта до точки, в которую прикатилась в конце концов шайба (ну простите - не могу я это нарисовать! черт!). Обозначим этот маленький катет как Y.
По той же теореме Пифагора мы получим, что А равно 121 минус Y в квадрате.
Но из наших предыдущих рассуждений мы узнали, что А также равно 2Х + Х/2.
Приравняем оба выражения, сделаем преобразования и, в конце концов, получим, что А в квадрате равно А в квадрате!
НУ И ЧТО?
Но ведь именно это и доказывает, что наше предположение о том, что тот самый отрезок равен Х/2, оказалось верным!
ФУ-У-У...
Я буду рад, если мне удалось написать понятно. Еще раз прошу прощения за отсутствие рисунка.
Таким образом, я решил эту задачу, исходя из того, что угол падения равен углу отражения и что площадка квадратная, как и требовал автор вопроса.
Площадь данной хоккейной площадки равна приблизительно 282,24 кв.метра.

Сторону квадрата 2х можно, например, найти из системы, которая сводится к уравнению 4-й степени. 
{ x² + y² = 81
{ x² + z² = 121
{ y/x = (x − 2y)/z

Так как хоккейная площадка имеет форму квадрата, то мы знаем по определению, что у квадрата всё стороны равныПлощадь квадрата это S=a^2.
Дальше по логике, отлетев от борта, остановилась в 11 метров от середины. Может 11+9=20 , а сумма 40. Тогда и стороны равны 40 и будет равно S=1600.
По иному я не знаю..