За�да�ние 19 № 503365. Дано трёхзнач�ное на�ту�раль�ное число (число не может на�чи�нать�ся с нуля).
а) Может ли част�ное этого числа и суммы его цифр быть рав�ным 20?
б) Может ли част�ное этого числа и суммы его цифр быть рав�ным 81?
в) Какое наи�мень�шее на�ту�раль�ное зна�че�ние может иметь част�ное дан�но�го числа и суммы его цифр?

Пусть цифра сотен этого числа х (х>0), десятков - у, единиц - z. Естественно, что x, y, z могут быть только целыми.
а) Если выполняется условие а), то это запишется в виде:
100x+10y+z=20(x+y+z), 80x-10y=19z, 10*(8x-y)=19*z. 19*z может быть кратно 10 только если z=0.
Тогда (8x-y)=0, y=8x. Это возможно только при y=8 и x=1. Итак, условию а) удовлетворяет число 180.
б) Если выполняется условие б), то это запишется в виде:
100x+10y+z=81(x+y+z), 19x-71y=80z.
Пробуем подобрать значения z. Оно не может быть равно нулю, так как в противном случае 19x=71y, а при целых, меньших 10 значениях x и y это невозможно. Значит z>0. Перепишем теперь в виде: 19x=80z+71y. Очевидно, что у не может быть равно 0. Поскольку левая часть (19х) не превышает 171, ни y, ни z не может быть больше 1. Но и прри их равенстве 1, равенство не соблюдается. Отсюда следует, что условие б) не выполняется НИ ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ.
в) Сумма цифр трёхзначного числа может равняться любому числу в промежутке 1-27. Попробуем подбирать знаменатель (сумму цифр числа) с наибольших значений.
х+у+z=27, т.е. х=9, у=9, z=9. Тогда число 999 и частное 999/27=37.
х+у+z=26, т.е. одна из цифр равна 8, а две другие 9. Поскольку нечётное число на четное нацело не разделится, остаётся проверить 998/26=38,38461538. Решение не целое. Проверяем следующее, и так далее. На удивление, оказалось, что для условия в) имеется 180 целочисленных решений. Привожу их в порядке возрастания частного.
№ ....Число.Сумма цифр.Частное
1   198 18  11
2   108 9   12
3   195 15  13
4   156 12  13
5   117 9   13
6   126 9   14
7   135 9   15
8   288 18  16
9   192 12  16
10  144 9   16
11  153 9   17
12  162 9   18
13  399 21  19
14  285 15  19
15  266 14  19
16  247 13  19
17  228 12  19
18  209 11  19
19  190 10  19
20  171 9   19
21  152 8   19
22  133 7   19
23  114 6   19
24  180 9   20
25  378 18  21
26  396 18  22
27  264 12  22
28  132 6   22
29  207 9   23
30  216 9   24
31  375 15  25
32  225 9   25
33  150 6   25
34  468 18  26
35  234 9   26
36  486 18  27
37  243 9   27
38  588 21  28
39  476 17  28
40  448 16  28
41  392 14  28
42  364 13  28
43  336 12  28
44  308 11  28
45  280 10  28
46  252 9   28
47  224 8   28
48  140 5   28
49  112 4   28
50  261 9   29
51  270 9   30
52  558 18  31
53  465 15  31
54  372 12  31
55  576 18  32
56  594 18  33
57  408 12  34
58  306 9   34
59  204 6   34
60  102 3   34
61  315 9   35
62  648 18  36
63  324 9   36
64  999 27  37
65  888 24  37
66  777 21  37
67  666 18  37
68  629 17  37
69  592 16  37
70  555 15  37
71  518 14  37
72  481 13  37
73  444 12  37
74  407 11  37
75  370 10  37
76  333 9   37
77  222 6   37
78  111 3   37
79  684 18  38
80  342 9   38
81  351 9   39
82  480 12  40
83  360 9   40
84  240 6   40
85  120 3   40
86  738 18  41
87  756 18  42
88  774 18  43
89  645 15  43
90  516 12  43
91  792 18  44
92  405 9   45
93  966 21  46
94  874 19  46
95  828 18  46
96  782 17  46
97  736 16  46
98  690 15  46
99  644 14  46
100 552 12  46
101 506 11  46
102 460 10  46
103 414 9   46
104 322 7   46
105 230 5   46
106 846 18  47
107 423 9   47
108 864 18  48
109 432 9   48
110 882 18  49
111 735 15  49
112 441 9   49
113 450 9   50
114 918 18  51
115 936 18  52
116 780 15  52
117 624 12  52
118 312 6   52
119 954 18  53
120 972 18  54
121 990 18  55
122 935 17  55
123 880 16  55
124 825 15  55
125 770 14  55
126 715 13  55
127 660 12  55
128 605 11  55
129 550 10  55
130 440 8   55
131 330 6   55
132 220 4   55
133 110 2   55
134 504 9   56
135 513 9   57
136 870 15  58
137 522 9   58
138 531 9   59
139 540 9   60
140 915 15  61
141 732 12  61
142 960 15  64
143 832 13  64
144 704 11  64
145 640 10  64
146 512 8   64
147 320 5   64
148 804 12  67
149 603 9   67
150 402 6   67
151 201 3   67
152 612 9   68
153 621 9   69
154 840 12  70
155 630 9   70
156 420 6   70
157 210 3   70
158 803 11  73
159 730 10  73
160 511 7   73
161 912 12  76
162 702 9   78
163 711 9   79
164 720 9   80
165 902 11  82
166 820 10  82
167 410 5   82
168 510 6   85
169 801 9   89
170 810 9   90
171 910 10  91
172 900 9   100
173 800 8   100
174 700 7   100
175 600 6   100
176 500 5   100
177 400 4   100
178 300 3   100
179 200 2   100
180 100 1   100
Решением является число 198, при делении на сумму цифр (18) наименьшее частное (11).
Разумеется, я не перебирал все эти решения вручную, а составил программку в Excel, и быстренько их нашёл. Но это не является методом решения, так как на экзамене невозможно перебрать 999 вариантов. Должен быть какой-то "подход", но мне его найти не удалось. Возможно, кому-то, основываясь на найденных мной разложениях удастся подобрать формулу.
На всякий случай приведу эти результаты и в порядке убывания трёхзначных чисел.
№ ....Число.Сумма цифр.Частное
1   999 27  37
2   990 18  55
3   972 18  54
4   966 21  46
5   960 15  64
6   954 18  53
7   936 18  52
8   935 17  55
9   918 18  51
10  915 15  61
11  912 12  76
12  910 10  91
13  902 11  82
14  900 9   100
15  888 24  37
16  882 18  49
17  880 16  55
18  874 19  46
19  870 15  58
20  864 18  48
21  846 18  47
22  840 12  70
23  832 13  64
24  828 18  46
25  825 15  55
26  820 10  82
27  810 9   90
28  804 12  67
29  803 11  73
30  801 9   89
31  800 8   100
32  792 18  44
33  782 17  46
34  780 15  52
35  777 21  37
36  774 18  43
37  770 14  55
38  756 18  42
39  738 18  41
40  736 16  46
41  735 15  49
42  732 12  61
43  730 10  73
44  720 9   80
45  715 13  55
46  711 9   79
47  704 11  64
48  702 9   78
49  700 7   100
50  690 15  46
51  684 18  38
52  666 18  37
53  660 12  55
54  648 18  36
55  645 15  43
56  644 14  46
57  640 10  64
58  630 9   70
59  629 17  37
60  624 12  52
61  621 9   69
62  612 9   68
63  605 11  55
64  603 9   67
65  600 6   100
66  594 18  33
67  592 16  37
68  588 21  28
69  576 18  32
70  558 18  31
71  555 15  37
72  552 12  46
73  550 10  55
74  540 9   60
75  531 9   59
76  522 9   58
77  518 14  37
78  516 12  43
79  513 9   57
80  512 8   64
81  511 7   73
82  510 6   85
83  506 11  46
84  504 9   56
85  500 5   100
86  486 18  27
87  481 13  37
88  480 12  40
89  476 17  28
90  468 18  26
91  465 15  31
92  460 10  46
93  450 9   50
94  448 16  28
95  444 12  37
96  441 9   49
97  440 8   55
98  432 9   48
99  423 9   47
100 420 6   70
101 414 9   46
102 410 5   82
103 408 12  34
104 407 11  37
105 405 9   45
106 402 6   67
107 400 4   100
108 399 21  19
109 396 18  22
110 392 14  28
111 378 18  21
112 375 15  25
113 372 12  31
114 370 10  37
115 364 13  28
116 360 9   40
117 351 9   39
118 342 9   38
119 336 12  28
120 333 9   37
121 330 6   55
122 324 9   36
123 322 7   46
124 320 5   64
125 315 9   35
126 312 6   52
127 308 11  28
128 306 9   34
129 300 3   100
130 288 18  16
131 285 15  19
132 280 10  28
133 270 9   30
134 266 14  19
135 264 12  22
136 261 9   29
137 252 9   28
138 247 13  19
139 243 9   27
140 240 6   40
141 234 9   26
142 230 5   46
143 228 12  19
144 225 9   25
145 224 8   28
146 222 6   37
147 220 4   55
148 216 9   24
149 210 3   70
150 209 11  19
151 207 9   23
152 204 6   34
153 201 3   67
154 200 2   100
155 198 18  11
156 195 15  13
157 192 12  16
158 190 10  19
159 180 9   20
160 171 9   19
161 162 9   18
162 156 12  13
163 153 9   17
164 152 8   19
165 150 6   25
166 144 9   16
167 140 5   28
168 135 9   15
169 133 7   19
170 132 6   22
171 126 9   14
172 120 3   40
173 117 9   13
174 114 6   19
175 112 4   28
176 111 3   37
177 110 2   55
178 108 9   12
179 102 3   34
180 100 1   100
                                                                              

В дополнение к тому, что сделал Rafail. Решение пункта в).
Число делится на сумму его цифр, т.е. 100*x+10*y+z=k*(x+y+z), где к - натуральное число.
После преобразований получаем (100-k)*x=(k-10)*y+(k-1)*z. Оценим правую часть.  y<=9, z<=9, следовательно, (k-10)*y+(k-1)*z <= (k-10)*9+(k-1)*9 = 18*k-99.
Таким образом, (100-k)*x<=18*k-99.
Отсюда k>=(100*a+99)/(x+18)=(100*x+1800-1701)/(x+18)=100-1701/(x+18).
Т.к. x>=1, то -1701/(x+18)>-89 10/19 (89 целых, десять девятнадцатых), и, после преобразований получаем, что k>=10 9/19. А т.к. k-целое, то k>=11.
Т.е. мы показали, что частное от деления не может быть меньше 11.
Проверим, может ли оно быть равно 11. Попробуем найти такое число, которое при делении на сумму его цифр давало бы частное 11.
Т.к. x мы оценивали снизу, то попробуем взять его равным 1. Тогда наше уравнение примет вид
100+10*y+z=11+11*y+11*z
10*z+y=89. Решение этого уравнения очевидно: z=8, y=9.
Итак, если x=1, y=9, z=8,  (число 198), то минимальное значение k=11 достигается.
Ответ: минимальное частное равно 11.