Квадрат 13х13 разрезать на малые квадраты, чтобы их число было наименьшим

Начинаем с выделения больного квадрата 12х12 и разбиения оставшейся части на квадраты.
Уменьшая большой квадрат можно объединять оставшиеся квадратики в более крупные квадраты.
Продолжаем до тех пор пока продолжается уменьшение общего числа квадратов.
Останавливаемся на числе 10
Каждый квадрат закрашиваем своим цветом.
получаем результат:
                                                                                

Как не крои, а получается в наименьшем результате только 12 квадратов, меньше уже не сделать

Ну и чё?! За лесом деревьев не видите что ли?
Любой квадрат, сколько бы в нем клеточек не было, можно разрезать только на четыре квадрата, помня об условии, что их количество должно быть минимальным.
При этом резать надо ровно посередине двух противоположных сторон квадрата, чтобы получить сперва два прямоугольника. А уж потом, каждый из прямоугольников разрезать ровно посередине противоположных сторон, имеющих наибольшую длину. Вот и будет вам четыре маленьких квадрата из одного исходного. Меньшее число нельзя получить ни в какую, даже и не пытайтесь.

Добавлю ответ. Признаюсь, сам не думал. Минимальное ли здесь количество квадратов- на совести авторов задачи. Получается 11 квадратов. Как алгебраически получить такой ответ, не знаю. Вот как-то так.