Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы все клетки доски оказались под боем этих ладей? (Занятая ладьей клетки считается побитой, любая ладья бьет клетки своей вертикали и горизонтали по всем четырём направлениям, но не бьет через клетку, занятую другой фигурой)

Для начала надо понять что должны быть находится под боем или все вертикали или все горизонтали. Всего 8 вертикалей и 8 горизонталей на доске. И на каждой вертикали должна находится ладья. Или на каждой горизонтали будет находится ладья.
Очевидно, что если все 8 вертикалей заняты ладьями, то все 8 клеток каждой вертикали находятся под боем, то есть все клетки под боем.
Аналогично очевидно, если все 8 горизонталей заняты ладьями, то все клетки будут под боем.
Покажем, что других вариантов нет. Пусть не все вертикали под боем (существует одна вертикаль без ладьи) и не все горизонтали под боем (существует одна вертикаль без ладьи)
Тогда клетка на пересечении такой вертикали и такой горизонтали будет не под боем.
Ну а теперь рассмотрим вариант расставленная 8 ладей по всем 8 вертикалям.
У каждой ладьи 8 вариантов расположиться на своей вертикали. И для каждого варианта будет 8 вариантов расположить следующую на своей вертикали и т.д. И так для всех 8 ладей. Получим 8•8•8•8•8•8•8•8 = 8⁸ = 16 777 216 способов расставить ладьи по вертикалям.
Аналогично по горизонталям будет 8⁸ = 16 777 216 способов расставить ладьи.
Для наглядности посмотрим рисунок расположение ладей по вертикалям и по горизонталям
Но есть 2 варианта, когда ладьи стоят по диагоналям. В этот момент они занимают все вертикали и все горизонтали одновременно. И таким образом эти 2 варианта были посчитаны 2 раза. Один раз когда считали все способы в вертикалях и второй раз когда считали все способы в горизонталях.
В итоге надо сложить все способы в вертикалях и горизонталях и отнять 2
Ответ: 2•8⁸ - 2 или 33 554 430 способа