Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?

Поскольку в условии говорится, чтобы все ящики были с шарами, то положим в каждый ящик по 1 шару. Останется 20 - 6 = 14 шаров. Которые надо распределить по 6 ящикам.
Представим, что ящики находятся вплотную друг к другу.
Мы наполняем 1-й ящик несколькими шарами О О О О потом отделяем первый ящик перегородкой (пусть это символ I) и дальше снова шары О О О и опять символ I
Поскольку ящиков 6, то перегородок между ними будет 5
Таким образом задача свелась к подсчету количества размещений 5 символов I среди 19 символов (14 символов О и 5 символов I)
Например: ООО I OO I OOOOO I O I ОO I O
То есть надо посчитать С⁵₁₉ = 19! / (5! • 14!) = 15 • 16 • 17 • 18 • 19 / (2 • 3 • 4 • 5) = 2 • 17 • 18 • 19 = 11 628
Ответ: 11 628